수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 두 변의 길이의 합 구하기

평행사변형 $\text{ABCD}$에서 $\overline{\text{AB}}=c$, $\overline{\text{AD}}=\overline{\text{BC}}=a$라고 합시다.

둘레의 길이가 20이므로 $2(a+c)=20$에서 $a+c=10$입니다.

step2. 대각선 AC의 길이 구하기

$\angle \text{ABC}=\theta$라고 하면, $\cos \theta =\frac{1}{4}$입니다.

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$이므로, $\sin \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$입니다.

삼각형 $\text{ABC}$의 외접원의 넓이가 $\frac{32}{3}\pi$이므로, 외접원의 반지름을 $R_1$이라 하면 $\pi R_1^2=\frac{32}{3}\pi$에서 $R_1^2=\frac{32}{3}$입니다.

사인법칙에 의해 $\frac{\overline{\text{AC}}}{\sin \theta }=2R_1$이 성립합니다.

양변을 제곱하면 ${\overline{\text{AC}}}^2=4R_1^2{\sin }^2\theta$가 됩니다.

${\overline{\text{AC}}}^2=4\times \frac{32}{3}\times {\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=\frac{128}{3}\times \frac{15}{16}=40$입니다.

step3. 두 변의 길이 확정하기

삼각형 $\text{ABC}$에서 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{\text{AC}}}^2=a^2+c^2-2ac\cos \theta$

$40=a^2+c^2-2ac\left(\frac{1}{4}\right)=a^2+c^2-\frac{1}{2}ac$

여기서 $a^2+c^2=(a+c{)}^2-2ac=100-2ac$를 대입하면,

$40=100-2ac-\frac{1}{2}ac$

$\frac{5}{2}ac=60$이므로 $ac=24$입니다.

$a+c=10$이고 $ac=24$이므로, $a$와 $c$는 이차방정식 $t^2-10t+24=0$의 두 근입니다.

$(t-4)(t-6)=0$에서 $t=4$ 또는 $t=6$입니다.

조건에서 $\overline{\text{AB}}<\overline{\text{AD}}$ 즉 $c<a$이므로, $c=4$, $a=6$으로 확정해야 합니다.

따라서 $\overline{\text{AB}}=4$, $\overline{\text{AD}}=6$입니다.

step4. $\angle \text{BAD}$의 삼각비 구하기

평행사변형에서 이웃한 두 각의 합은 ${180}^{\circ }$이므로, $\angle \text{BAD}={180}^{\circ }-\theta$입니다.

$\cos (\angle \text{BAD})=\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta =-\frac{1}{4}$

$\sin (\angle \text{BAD})=\sin ({180}^{\circ }-\theta )=\sin \theta =\frac{\sqrt{15}}{4}$

step5. 대각선 BD의 길이 구하기

삼각형 $\text{ABD}$에서 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{\text{BD}}}^2={\overline{\text{AB}}}^2+{\overline{\text{AD}}}^2-2·\overline{\text{AB}}·\overline{\text{AD}}\cos (\angle \text{BAD})$

${\overline{\text{BD}}}^2=4^2+6^2-2·4·6·(-\frac{1}{4})=16+36+12=64$

따라서 $\overline{\text{BD}}=8$입니다.

step6. 외접원의 넓이와 정답 도출

삼각형 $\text{ABD}$의 외접원의 반지름을 $R_2$라고 하면, 사인법칙에 의해

$2R_2=\frac{\overline{\text{BD}}}{\sin (\angle \text{BAD})}=\frac{8}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{32}{\sqrt{15}}$

$R_2=\frac{16}{\sqrt{15}}$

외접원의 넓이는 $\pi R_2^2=\pi {\left(\frac{16}{\sqrt{15}}\right)}^2=\frac{256}{15}\pi$입니다.

따라서 $p=15$, $q=256$이며, 두 수는 서로소입니다.

최종적으로 $p+q=15+256=271$입니다.

step1. 두 변의 길이의 합

$\overline{\text{AB}}=c,\overline{\text{AD}}=a$라 하면

$2(a+c)=20⟹a+c=10$

step2. 대각선 AC의 길이

$\angle \text{ABC}=\theta$라 하면 $\cos \theta =\frac{1}{4},\sin \theta =\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\pi R_1^2=\frac{32}{3}\pi ⟹R_1^2=\frac{32}{3}$

${\overline{\text{AC}}}^2=4R_1^2{\sin }^2\theta =4·\frac{32}{3}·\frac{15}{16}=40$   --- 사인법칙 이용

step3. 두 변의 길이 확정

${\overline{\text{AC}}}^2=a^2+c^2-2ac\cos \theta =(a+c{)}^2-2ac-\frac{1}{2}ac$   --- 코사인법칙 이용

$40=100-\frac{5}{2}ac⟹ac=24$

$a+c=10,ac=24$이고 $c<a$이므로 $c=4,a=6$

step4. $\angle \text{BAD}$의 삼각비

$\angle \text{BAD}={180}^{\circ }-\theta$

$\cos (\angle \text{BAD})=-\frac{1}{4},\sin (\angle \text{BAD})=\frac{\sqrt{15}}{4}$

step5. 대각선 BD의 길이

${\overline{\text{BD}}}^2=4^2+6^2-2(4)(6)(-\frac{1}{4})=16+36+12=64$

$\overline{\text{BD}}=8$

step6. 외접원의 넓이와 정답

$2R_2=\frac{8}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{32}{\sqrt{15}}⟹R_2=\frac{16}{\sqrt{15}}$

$\pi R_2^2=\frac{256}{15}\pi$

$p=15,q=256⟹p+q=271$

$\therefore 271$