수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 함수 f(x)의 그래프 개형 파악

$x<1$일 때, $f(x)=-2^x+2$입니다. 밑이 2인 지수함수에 마이너스가 붙었으므로 이 구간에서 $f(x)$는 감소함수예요.

$x\ge 1$일 때, $f(x)={\log }_{2}x$입니다. 밑이 2인 로그함수이므로 이 구간에서 $f(x)$는 증가함수예요.

$x=1$일 때 두 식의 값을 확인해보면, $-2^1+2=0$이고 ${\log }_{2}1=0$이므로 $x=1$에서 연속이며 $f(1)=0$입니다.

즉, $f(x)$는 $x=1$에서 최솟값 0을 가지고, $x=1$을 기준으로 왼쪽에서는 감소, 오른쪽에서는 증가하는 모양입니다.

step2. 구간이 x=1의 왼쪽에 있을 때

구간 $[a-1,a+1]$이 $x=1$의 왼쪽에 완전히 속하려면 $a+1\le 1$, 즉 $a\le 0$이어야 합니다.

이 구간에서 $f(x)$는 계속 감소합니다.

따라서 $x=a-1$에서 최댓값 $M$을, $x=a+1$에서 최솟값 $m$을 가집니다.

$M=f(a-1)=-2^{a-1}+2$

$m=f(a+1)=-2^{a+1}+2$

조건에서 $M-m=1$이어야 하므로,

$(-2^{a-1}+2)-(-2^{a+1}+2)=1$

$2^{a+1}-2^{a-1}=1$

$2^{a-1}(2^2-1)=1$

$3·2^{a-1}=1⟹2^{a-1}=\frac{1}{3}$

양변에 밑이 2인 로그를 취하면,

$a-1={\log }_2\frac{1}{3}=-{\log }_{2}3$

$a=1-{\log }_{2}3={\log }_{2}2-{\log }_{2}3={\log }_2\frac{2}{3}$

이 값은 $a\le 0$ 조건을 만족합니다.

step3. 구간이 x=1의 오른쪽에 있을 때

구간 $[a-1,a+1]$이 $x=1$의 오른쪽에 완전히 속하려면 $a-1\ge 1$, 즉 $a\ge 2$이어야 합니다.

이 구간에서 $f(x)$는 계속 증가합니다.

따라서 $x=a+1$에서 최댓값 $M$을, $x=a-1$에서 최솟값 $m$을 가집니다.

$M=f(a+1)={\log }_2(a+1)$

$m=f(a-1)={\log }_2(a-1)$

조건에서 $M-m=1$이어야 하므로,

${\log }_2(a+1)-{\log }_2(a-1)=1$

${\log }_2\frac{a+1}{a-1}=1$

$\frac{a+1}{a-1}=2$

$a+1=2(a-1)⟹a+1=2a-2⟹a=3$

이 값은 $a\ge 2$ 조건을 만족합니다.

step4. 구간이 x=1을 포함할 때

구간 $[a-1,a+1]$이 $x=1$을 포함하려면 $a-1<1<a+1$, 즉 $0<a<2$이어야 합니다.

이 경우 최솟값이 구간의 양 끝점이 아니라 $x=1$에서 발생한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

구간 내에 $x=1$이 포함되므로 최솟값은 무조건 $m=f(1)=0$입니다.

최댓값과 최솟값의 차가 1이 되어야 하므로, 최댓값 $M=1$이어야 합니다.

최댓값은 양 끝점 중 하나에서 발생하므로, $f(a-1)=1$ 이거나 $f(a+1)=1$ 입니다.

1) $f(a-1)=1$인 경우:

$-2^{a-1}+2=1⟹2^{a-1}=1⟹a-1=0⟹a=1$

이때 $f(a+1)=f(2)={\log }_{2}2=1$이 되어 양 끝점의 함숫값이 모두 1로 같습니다.

2) $f(a+1)=1$인 경우:

${\log }_2(a+1)=1⟹a+1=2⟹a=1$

마찬가지로 $a=1$이 나옵니다.

따라서 이 구간에서 조건을 만족하는 $a$의 값은 $1$입니다.

step5. 모든 a의 값의 합 구하기

구한 세 가지 경우의 $a$ 값을 모두 더하여 최종 답을 계산합니다.

$a_1={\log }_2\frac{2}{3}$

$a_2=3$

$a_3=1$

모든 $a$의 합 = ${\log }_2\frac{2}{3}+3+1={\log }_2\frac{2}{3}+4$

$4={\log }_{2}16$이므로,

${\log }_2\frac{2}{3}+{\log }_{2}16={\log }_2(\frac{2}{3}\times 16)={\log }_2\frac{32}{3}$

따라서 정답은 ②번입니다.

step1. 함수 개형 파악

$f(x)$는 $x=1$에서 최솟값 $f(1)=0$을 가짐.

$x<1$에서 감소, $x>1$에서 증가.

step2. $a+1\le 1$ ($a\le 0$) 일 때

--- 구간에서 감소하므로

$M=f(a-1)=-2^{a-1}+2$

$m=f(a+1)=-2^{a+1}+2$

$M-m=2^{a+1}-2^{a-1}=2^{a-1}(4-1)=3·2^{a-1}=1$

$2^{a-1}=\frac{1}{3}⟹a-1=-{\log }_{2}3⟹a={\log }_2\frac{2}{3}$

step3. $a-1\ge 1$ ($a\ge 2$) 일 때

--- 구간에서 증가하므로

$M=f(a+1)={\log }_2(a+1)$

$m=f(a-1)={\log }_2(a-1)$

$M-m={\log }_2\frac{a+1}{a-1}=1$

$\frac{a+1}{a-1}=2⟹a+1=2a-2⟹a=3$

step4. $a-1<1<a+1$ ($0<a<2$) 일 때

--- $x=1$을 포함하므로 최솟값은 $f(1)=0$

$M=max(f(a-1),f(a+1))=1$

$f(a-1)=-2^{a-1}+2=1⟹2^{a-1}=1⟹a=1$

$f(a+1)={\log }_2(a+1)=1⟹a+1=2⟹a=1$

$\therefore a=1$

step5. 모든 $a$의 합

$\sum a={\log }_2\frac{2}{3}+3+1={\log }_2\frac{2}{3}+4={\log }_2\frac{32}{3}$

$\therefore ②$