수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 일반항을 하나의 식으로 표현하기

$a_n$의 식을 보면 $n^2$은 항상 공통으로 들어있고, 뒤에 더해지는 값이 홀수일 때는 $-1$, 짝수일 때는 $+1$입니다. 이처럼 부호가 번갈아 나타나는 값은 $(-1{)}^n$을 이용하여 표현할 수 있어요. 따라서 수열의 일반항을 $a_n=n^2+(-1{)}^n$으로 하나의 식으로 나타낼 수 있습니다.

step2. 시그마의 성질을 이용하여 식 분리하기

우리가 구해야 할 값은 ${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k$입니다. 앞서 구한 일반항을 대입하면 ${\sum }_{k=1}^{10}(k^2+(-1{)}^k)$가 됩니다. 시그마의 덧셈 성질을 이용하여 이 식을 두 부분으로 나누어 볼게요. ${\sum }_{k=1}^{10}{k}^2+{\sum }_{k=1}^{10}(-1{)}^k$로 쓸 수 있습니다. 홀수 항과 짝수 항을 따로 계산하다가 항의 개수를 헷갈리거나 덧셈 실수를 하기 쉬운데, 이렇게 식을 분리하면 실수를 줄일 수 있어요.

step3. 각각의 합을 계산하여 최종 답 구하기

첫 번째 부분인 ${\sum }_{k=1}^{10}{k}^2$은 자연수 거듭제곱의 합 공식을 이용하면 $\frac{10\times 11\times 21}{6}=385$가 됩니다. 두 번째 부분인 ${\sum }_{k=1}^{10}(-1{)}^k$는 $k$가 1부터 10까지 변할 때 $(-1)+1+(-1)+1+\dots +(-1)+1$이 되어, 홀수 번째 항과 짝수 번째 항이 서로 상쇄되므로 합이 $0$이 됩니다. 따라서 최종 정답은 $385+0=385$입니다.

step1. 일반항을 하나의 식으로 표현하기

$a_k=k^2+(-1{)}^k$

step2. 시그마의 성질을 이용하여 식 분리하기

${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k={\sum }_{k=1}^{10}(k^2+(-1{)}^k)$

$={\sum }_{k=1}^{10}{k}^2+{\sum }_{k=1}^{10}(-1{)}^k$   --- 시그마의 덧셈 성질 이용

step3. 각각의 합을 계산하여 최종 답 구하기

$=\frac{10\times 11\times 21}{6}+0$   --- 자연수 거듭제곱의 합 공식 이용

$=385$

$\therefore 385$