수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 최댓값 조건을 이용해 p, q의 관계식 구하기

$f(x)=|p\sin x-q|$에서 $\sin x$의 범위는 $-1\le \sin x\le 1$이에요.

$p$가 자연수이므로 $p\sin x-q$의 범위는 $-p-q\le p\sin x-q\le p-q$가 됩니다.

여기서 $p>0$이고 $q\ge 0$이므로, 음수인 $-p-q$의 절댓값이 양수일 수 있는 $p-q$의 절댓값보다 항상 크거나 같습니다.

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $|-p-q|=p+q$가 되고, 조건 (나)에 의해 $p+q=15$라는 중요한 관계식을 얻을 수 있어요.

step2. 방정식 f(a)=q를 풀어 sin a의 조건 찾기

조건 $f(a)=q$를 수식으로 쓰면 $|p\sin a-q|=q$가 됩니다.

절댓값을 풀면 $p\sin a-q=q$ 또는 $p\sin a-q=-q$가 되죠.

이를 정리하면 $p\sin a=2q$ 또는 $p\sin a=0$이에요.

$p$는 자연수이므로 양변을 $p$로 나누면, 우리가 찾아야 할 근은 $\sin a=\frac{2q}{p}$ 또는 $\sin a=0$을 만족하는 양수 $a$들입니다.

step3. 2q/p > 1 인 경우 확인하기

$\sin a$의 최댓값은 $1$이므로, 우변의 값 $\frac{2q}{p}$가 $1$보다 큰지, 같은지, 작은지에 따라 근의 배열이 완전히 달라집니다.

먼저 $\frac{2q}{p}>1$인 경우를 볼게요. 이 경우 $\sin a=\frac{2q}{p}$를 만족하는 실수 $a$는 존재하지 않아요.

따라서 $\sin a=0$의 양수 근만 남게 됩니다. 양수 근을 작은 것부터 나열하면 $\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,\dots$ 가 되죠.

그러면 $a_1=\pi ,a_4=4\pi ,a_7=7\pi$가 됩니다.

이 세 수는 공차가 $3\pi$인 등차수열을 이루므로 조건 (가)를 만족해요!

$\frac{2q}{p}>1$을 $p,q$로 표현해볼까요? $q=15-p$를 대입하면 $\frac{2(15-p)}{p}>1$이 되고, $30-2p>p$, 즉 $3p<30$이 되어 $p<10$을 얻습니다.

$p$는 자연수이므로 $p=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ (총 9개)가 모두 정답이 됩니다.

step4. 2q/p = 1 인 경우 확인하기

이번엔 $\frac{2q}{p}=1$인 경우예요. $q=15-p$를 대입하면 $p=10$이고 $q=5$가 됩니다.

이때 풀어야 할 방정식은 $\sin a=1$ 또는 $\sin a=0$이에요.

$\sin a=1$의 양수 근: $\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{9\pi }{2},\dots$

$\sin a=0$의 양수 근: $\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,\dots$

이들을 크기순으로 섞어서 나열해볼게요.

$a_1=\frac{\pi }{2}$, $a_2=\pi$, $a_3=2\pi$, $a_4=\frac{5\pi }{2}$, $a_5=3\pi$, $a_6=4\pi$, $a_7=\frac{9\pi }{2}$

우리가 필요한 건 $a_1,a_4,a_7$이죠? 각각 $\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{9\pi }{2}$ 입니다.

이 세 수는 공차가 $2\pi$인 등차수열을 이루네요! 따라서 $p=10$도 조건을 만족합니다. (1개 추가)

step5. 0 < 2q/p < 1 인 경우 확인하기

$\frac{2q}{p}<1$이면 $p>10$이 됩니다. $q\ge 0$이므로 $p<15$일 때 이 구간에 해당해요. ($10<p<15$)

$\sin a=\frac{2q}{p}$의 가장 작은 양수 근을 $\alpha$ ($0<\alpha <\frac{\pi }{2}$)라고 해볼게요.

$\sin a=\frac{2q}{p}$의 근: $\alpha ,\pi -\alpha ,2\pi +\alpha ,3\pi -\alpha ,\dots$

$\sin a=0$의 근: $\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$

크기순으로 나열하면 다음과 같아요.

$a_1=\alpha$, $a_2=\pi -\alpha$, $a_3=\pi$, $a_4=2\pi$, $a_5=2\pi +\alpha$, $a_6=3\pi -\alpha$, $a_7=3\pi$

$a_1,a_4,a_7$은 각각 $\alpha ,2\pi ,3\pi$가 됩니다.

이 세 수가 등차수열을 이루려면 $2\pi -\alpha =3\pi -2\pi$가 성립해야 해요.

정리하면 $2\pi -\alpha =\pi$ 이므로 $\alpha =\pi$가 됩니다.

하지만 처음에 $\alpha$는 $0$과 $\frac{\pi }{2}$ 사이의 값이라고 했으므로 모순이 발생하죠. 따라서 이 구간에서는 조건을 만족하는 $p$가 없습니다.

step6. 2q/p = 0 인 경우 확인하기

마지막으로 $\frac{2q}{p}=0$인 경우입니다. 즉 $q=0$이고, $p+q=15$이므로 $p=15$가 됩니다.

이때 방정식은 $\sin a=0$ 하나만 남게 되죠.

step3과 마찬가지로 근은 $\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$ 가 되고, $a_1=\pi ,a_4=4\pi ,a_7=7\pi$가 되어 등차수열을 이룹니다.

따라서 $p=15$도 조건을 만족합니다. (1개 추가)

step7. 최종 순서쌍의 개수 구하기

지금까지 찾은 조건을 만족하는 $p$의 값을 모두 모아볼까요?

step3에서 $p=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ (9개)

step4에서 $p=10$ (1개)

step6에서 $p=15$ (1개)

$p$가 정해지면 $q=15-p$로 유일하게 결정되므로, 순서쌍 $(p,q)$의 개수는 $p$의 개수와 같습니다.

총 $9+1+1=11$개가 됩니다.

step1. 최댓값 조건

$f(x)=|p\sin x-q|$

$-1\le \sin x\le 1⟹-p-q\le p\sin x-q\le p-q$

$p>0,q\ge 0$이므로 최댓값은 $|-p-q|=p+q$

$\therefore p+q=15$

step2. 방정식 세우기

$|p\sin a-q|=q$

$p\sin a-q=q\text{or}p\sin a-q=-q$

$\sin a=\frac{2q}{p}\text{or}\sin a=0$

step3. $\frac{2q}{p}>1$ 인 경우

$\sin a=0$의 근만 존재

$a_n=n\pi ⟹a_1=\pi ,a_4=4\pi ,a_7=7\pi$   --- 등차수열 성립

$\frac{2(15-p)}{p}>1⟹30-2p>p⟹p<10$

$\therefore p=1,2,\dots ,9$   --- 9개

step4. $\frac{2q}{p}=1$ 인 경우

$p=10,q=5$

$\sin a=1\text{or}\sin a=0$

$a_n$ 나열: $\frac{\pi }{2},\pi ,2\pi ,\frac{5\pi }{2},3\pi ,4\pi ,\frac{9\pi }{2},\dots$

$a_1=\frac{\pi }{2},a_4=\frac{5\pi }{2},a_7=\frac{9\pi }{2}$   --- 등차수열 성립

$\therefore p=10$   --- 1개

step5. $0<\frac{2q}{p}<1$ 인 경우

$10<p<15$

$\sin a=\frac{2q}{p}$의 최소 양수근을 $\alpha$라 하면

$a_n$ 나열: $\alpha ,\pi -\alpha ,\pi ,2\pi ,2\pi +\alpha ,3\pi -\alpha ,3\pi ,\dots$

$a_1=\alpha ,a_4=2\pi ,a_7=3\pi$

$2\pi -\alpha \ne 3\pi -2\pi$   --- 등차수열 불가

step6. $\frac{2q}{p}=0$ 인 경우

$q=0⟹p=15$

$\sin a=0$의 근만 존재   --- step3과 동일

$\therefore p=15$   --- 1개

step7. 최종 개수

$9+1+1=11$

$\therefore 11$