수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f(x)$의 그래프 개형 분석 및 케이스 분류

$f(x)$는 $x\le 0$에서 $y=2^{x+a}$이므로 점근선이 $y=0$이고 $(0,2^a)$까지 증가하는 그래프입니다.

$x>0$에서는 $y=(x+b{)}^2$이므로 꼭짓점이 $(-b,0)$인 포물선의 일부입니다.

꼭짓점의 위치에 따라 그래프 모양이 달라지므로, $b\ge 0$일 때와 $b<0$일 때로 나누어 생각해야 합니다.

$y=t$와의 교점 개수 $g(t)$가 변하는 순간(불연속점)은 $y=2^a$와 $y=b^2$에서 발생합니다.

조건 1에서 양수 불연속점이 $k,2k$ 두 개 존재한다고 했으므로, 두 불연속점 $2^a$와 $b^2$가 각각 $k,2k$가 되어야 합니다.

즉, $2^a=2b^2$ 또는 $b^2=2·2^a$가 성립해야 합니다.

step2. $b\ge 0$일 때의 분석

$b\ge 0$이면 꼭짓점 $(-b,0)$이 $y$축의 왼쪽이나 위에 있으므로, $x>0$ 범위에서 $f(x)$는 $(0,b^2)$에서 시작하여 계속 증가합니다.

- $2^a<b^2$일 때: $g(t)$는 $t=2^a$와 $t=b^2$에서 불연속입니다.

$t=2^a$에서 좌극한 1, 우극한 0이므로 곱은 0입니다.

$t=b^2$에서 좌극한 0, 우극한 1이므로 곱은 0입니다.

조건 2(곱이 2)를 만족할 수 없습니다.

- $2^a>b^2$일 때: $g(t)$는 $t=b^2$와 $t=2^a$에서 불연속입니다.

$t=b^2$에서 좌극한 1, 우극한 2이므로 곱은 2입니다.

$t=2^a$에서 좌극한 2, 우극한 1이므로 곱은 2입니다.

따라서 $t=16$은 $b^2$이거나 $2^a$일 수 있습니다.

이때 $2^a>b^2$이므로 $2^a=2b^2$입니다.

(1) $16=b^2$이면 $b=4$, $2^a=32$에서 $a=5$입니다. $⟹a+b=9$

(2) $16=2^a$이면 $a=4$, $b^2=8$에서 $b=2\sqrt{2}$입니다. $⟹a+b=4+2\sqrt{2}$

$2^a$와 $b^2$의 대소 관계를 나누지 않고 하나로만 생각하면 해를 놓칠 수 있으니 주의하세요.

step3. $b<0$일 때의 분석

$b<0$이면 꼭짓점 $(-b,0)$이 $x>0$ 범위에 있으므로, $f(x)$는 $(0,b^2)$에서 시작하여 $x=-b$에서 최솟값 0을 찍고 다시 증가합니다.

- $2^a<b^2$일 때:

$t=2^a$에서 좌극한 3, 우극한 2이므로 곱은 6입니다.

$t=b^2$에서 좌극한 2, 우극한 1이므로 곱은 2입니다.

따라서 $t=16$은 $b^2$이어야 합니다.

$16=b^2$에서 $b=-4$ ($b<0$)입니다.

이때 $2^a<b^2$이므로 $b^2=2·2^a$입니다. $16=2·2^a⟹2^a=8⟹a=3$입니다.

$⟹a+b=-1$

- $2^a>b^2$일 때:

$t=b^2$에서 좌극한 3, 우극한 2이므로 곱은 6입니다.

$t=2^a$에서 좌극한 2, 우극한 1이므로 곱은 2입니다.

따라서 $t=16$은 $2^a$이어야 합니다.

$16=2^a$에서 $a=4$입니다.

이때 $2^a>b^2$이므로 $2^a=2b^2$입니다. $16=2b^2⟹b^2=8⟹b=-2\sqrt{2}$입니다.

$⟹a+b=4-2\sqrt{2}$

step4. 최댓값과 최솟값의 곱 계산

앞선 단계들에서 구한 $a+b$의 값은 $9,4+2\sqrt{2},-1,4-2\sqrt{2}$입니다.

이 값들을 비교해보면,

$4+2\sqrt{2}\approx 4+2.828=6.828$

$4-2\sqrt{2}\approx 4-2.828=1.172$

따라서 최댓값은 9이고, 최솟값은 -1입니다.

최댓값과 최솟값의 곱은 $9\times (-1)=-9$가 됩니다.

step1. $f(x)$의 그래프 개형 분석 및 케이스 분류

$f(x)$의 치역 경계는 $y=2^a$와 $y=b^2$.

$g(t)$의 양수 불연속점은 $t=2^a,b^2$.

조건 1에 의해 $\{2^a,b^2\}=\{k,2k\}$

$\therefore {②}^a=2b^2$ 또는 $b^2=2·2^a$

step2. $b\ge 0$일 때의 분석

$x>0$에서 $f(x)$는 증가함수.

$2^a>b^2$일 때만 ${lim}_{t\to 16-}g(t)\times {lim}_{t\to 16+}g(t)=2$ 만족.

이때 $2^a=2b^2$ 성립.

① $t=16$이 $b^2$인 경우: $b=4,2^a=32⟹a=5⟹a+b=9$

② $t=16$이 $2^a$인 경우: $a=4,b^2=8⟹b=2\sqrt{2}⟹a+b=4+2\sqrt{2}$

step3. $b<0$일 때의 분석

$x>0$에서 $f(x)$는 $x=-b$에서 최솟값 0.

① $2^a<b^2$일 때: $t=b^2$에서 극한 곱이 2.

$b^2=16⟹b=-4$. $b^2=2·2^a⟹2^a=8⟹a=3⟹a+b=-1$

② $2^a>b^2$일 때: $t=2^a$에서 극한 곱이 2.

$2^a=16⟹a=4$. $2^a=2b^2⟹b^2=8⟹b=-2\sqrt{2}⟹a+b=4-2\sqrt{2}$

step4. 최댓값과 최솟값의 곱 계산

$a+b\in \{9,4+2\sqrt{2},-1,4-2\sqrt{2}\}$

최댓값 = 9, 최솟값 = -1

$\therefore 9\times (-1)=-9$