수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. ${\cos }^2\theta$의 값 구하기

문제에서 $\sin \theta =-3\cos \theta$라고 주어졌어요.

우리가 항상 사용할 수 있는 삼각함수의 기본 공식인 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$에 이 식을 대입해 볼게요.

$\sin \theta$ 자리에 $-3\cos \theta$를 대입하면 하나의 삼각함수로 통일할 수 있어요.

$(-3\cos \theta {)}^2+{\cos }^2\theta =1$

$9{\cos }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$10{\cos }^2\theta =1$

따라서 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{10}$이 됩니다.

step2. $\cos \theta$의 부호 결정하기

이제 $\cos \theta$가 양수인지 음수인지 결정해야 해요.

문제에서 주어진 각의 범위는 $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$입니다.

이 범위는 제2사분면을 의미하죠.

제2사분면에서는 $\sin$만 양수이고, $\cos$과 $\tan$는 음수라는 점을 놓치기 쉽워요.

따라서 $\cos \theta <0$이 되어야 합니다.

step3. $\cos \theta$의 값 구하기

step1에서 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{10}$이었고, step2에서 $\cos \theta <0$임을 알았어요.

그러므로 $\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{10}}$이 됩니다.

분모를 유리화하면,

$\cos \theta =-\frac{\sqrt{10}}{10}$이 되네요.

선지에서 찾아보면 정답은 ③번입니다.

step1. ${\cos }^2\theta$의 값 구하기

$\sin \theta =-3\cos \theta$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$   --- (삼각함수 사이의 관계 이용)

$(-3\cos \theta {)}^2+{\cos }^2\theta =1$

$10{\cos }^2\theta =1$

${\cos }^2\theta =\frac{1}{10}$

step2. $\cos \theta$의 부호 결정하기

$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$   --- (제2사분면의 각이므로)

$\cos \theta <0$

step3. $\cos \theta$의 값 구하기

$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\therefore ③$