수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 지수부등식 풀기

먼저 첫 번째 식인 $4^x-2^x-2<0$을 풀어볼게요.

$4^x$는 $(2^x{)}^2$과 같으므로, 계산을 편하게 하기 위해 $2^x=t$로 치환해 줍니다.

이때 지수함수의 값은 항상 양수이므로 $t>0$이라는 조건을 놓치기 쉽습니다. 꼭 적어두고 시작하세요!

식을 $t$에 대해 다시 쓰면 $t^2-t-2<0$이 됩니다.

이차부등식을 인수분해하면 $(t-2)(t+1)<0$이 되고, 이를 풀면 $-1<t<2$가 나와요.

그런데 우리가 처음에 $t>0$이라고 했죠? 두 범위를 겹쳐보면 $0<t<2$가 됩니다.

이제 $t$를 원래대로 $2^x$로 되돌려주면 $0<2^x<2^1$이 됩니다.

밑인 2가 1보다 크기 때문에 지수끼리 비교할 때 부등호 방향이 그대로 유지되어, 첫 번째 부등식의 해는 $x<1$이 됩니다.

step2. 로그부등식 풀기

이제 두 번째 식인 ${\log }_{a}x+1>0$을 풀어볼 차례예요.

로그가 나오면 가장 먼저 진수 조건부터 챙겨야 해요. 진수인 $x$는 무조건 $x>0$이어야 합니다.

부등식을 정리하면 ${\log }_{a}x>-1$이 됩니다.

우변의 $-1$을 밑이 $a$인 로그로 바꿔주면 ${\log }_a(a^{-1})$이 되죠.

즉, ${\log }_{a}x>{\log }_a(a^{-1})$입니다.

문제에서 밑 $a$가 1보다 크다($a>1$)고 주어졌으므로, 진수끼리 비교할 때 부등호 방향이 바뀌지 않고 $x>a^{-1}$이 됩니다.

$a^{-1}$은 $\frac{1}{a}$이므로, 두 번째 부등식의 해는 $x>\frac{1}{a}$이 됩니다. (이 범위는 진수 조건 $x>0$도 자연스럽게 만족하네요.)

step3. 공통 범위 구하기 및 $a,b$ 계산

step1에서 구한 $x<1$과 step2에서 구한 $x>\frac{1}{a}$의 공통 범위를 구하면 $\frac{1}{a}<x<1$이 됩니다.

문제에서 이 연립부등식의 해가 $\frac{1}{5}<x<b$라고 했어요.

두 해가 완벽히 똑같아야 하므로, 왼쪽 끝값끼리 비교하면 $\frac{1}{a}=\frac{1}{5}$에서 $a=5$가 됩니다.

오른쪽 끝값끼리 비교하면 $b=1$이 되죠.

마지막으로 구하고자 하는 $a+b$의 값은 $5+1=6$이 됩니다.

step1. 지수부등식

$4^x-2^x-2<0$

$(2^x{)}^2-2^x-2<0$

$(2^x-2)(2^x+1)<0$

$-1<2^x<2$   --- $2^x>0$이므로

$0<2^x<2^1$

$\therefore x<1$

step2. 로그부등식

${\log }_{a}x+1>0$

${\log }_{a}x>-1$

${\log }_{a}x>{\log }_a(a^{-1})$   --- $a>1$이므로 부등호 방향 유지

$\therefore x>\frac{1}{a}$   --- 진수 조건 $x>0$ 만족

step3. 공통 범위 및 정답 도출

$\frac{1}{a}<x<1$

주어진 해 $\frac{1}{5}<x<b$와 비교하면

$a=5,b=1$

$\therefore a+b=6$