2024년 9월 학력평가 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

19. 함수

f (x) = 3 \sin \frac{π}{2} x

(0 \leq x \leq 7)

과 실수

t

(0 < t < 3)

에 대하여 한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC의 세 꼭짓점 A, B, C가 다음 조건을 만족시킬 때,

t

의 값은? [4점]
(가) 두 점 A, B는 곡선

y = f (x)

와 직선

y = - t

가 만나는 점이다.
(나) 점 C는 곡선

y = f (x)

위의 점이다.
①

\frac{\sqrt{3}}{2}

②

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

③

\sqrt{3}

④

\frac{5 \sqrt{3}}{4}

⑤

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

이 문제는 삼각함수의 주기성과 대칭성을 이용하여 그래프 위의 점들로 이루어진 정삼각형의 조건을 만족하는 미지수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

f (x) = 3 \sin \frac{π}{2} x (0 \leq x \leq 7)

0 < t < 3

- 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 4
- 두 점 A, B는 곡선

y = f (x)

와 직선

y = - t

가 만나는 점
- 점 C는 곡선

y = f (x)

위의 점

이 문제는 삼각함수의 주기성을 이용해 두 점 A, B의 관계를 파악하고, 정삼각형의 높이와 함수의 대칭성을 연결하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 함수 $f (x)$ 의 주기를 확인합니다.

step2. 두 점 A, B의 위치 관계를 파악합니다.

step3. 점 C의 $x$ 좌표를 구합니다.

step4. 점 C의 $y$ 좌표를 구합니다.

step5. 정삼각형의 높이를 이용하여 $t$ 를 구합니다.

- 삼각함수의 주기 : 함수 $y = a \sin (b x)$ 의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 입니다.

- 정삼각형의 높이 : 한 변의 길이가 $a$ 인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ 입니다.

- 삼각함수의 성질 : $\sin (θ + π) = - \sin θ$ 가 성립합니다.

문제에서 선분 AB의 길이가 4라고 주어졌어요. 그런데 함수

f (x)

의 식을 보니 주기를 구할 수 있겠네요? 주기를 먼저 구해보면 문제 해결의 결정적인 실마리가 보일 거예요.

step1. 함수 $f (x)$ 의 주기 확인하기

먼저 주어진 함수 $f (x) = 3 \sin \frac{π}{2} x$ 의 주기를 구해볼게요.

$x$ 의 계수가 $\frac{π}{2}$ 이므로, 주기는 $\frac{2 π}{π / 2} = 4$ 가 됩니다.

함수의 주기가 4라는 것은 $x$ 값이 4만큼 커질 때마다 그래프의 모양이 똑같이 반복된다는 뜻이에요.

step2. 두 점 A, B의 위치 관계 파악하기

문제에서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이가 4라고 했어요. 즉, 선분 AB의 길이는 4입니다.

두 점 A, B는 모두 직선 $y = - t$ 위에 있으므로 $y$ 좌표가 같아요. 따라서 두 점 사이의 거리는 $x$ 좌표의 차이와 같습니다.

함수의 주기가 4인데, $y$ 값이 같은 두 점 A, B의 $x$ 좌표 차이도 4입니다. 이는 점 B가 점 A에서 정확히 한 주기만큼 오른쪽으로 이동한 점이라는 뜻이에요.

점 A의 $x$ 좌표를 $x_{A}$ 라고 하면, 점 B의 $x$ 좌표는 $x_{B} = x_{A} + 4$ 로 쓸 수 있어요.

step3. 점 C의 $x$ 좌표 구하기

삼각형 ABC는 정삼각형이에요. 정삼각형의 꼭짓점 C에서 밑변 AB에 수선의 발을 내리면, 그 수선의 발은 선분 AB의 중점이 됩니다.

따라서 점 C의 $x$ 좌표( $x_{C}$ )는 점 A와 점 B의 $x$ 좌표의 딱 중간에 있어야 해요.

$x_{C} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{x_{A} + (x_{A} + 4)}{2} = x_{A} + 2$ 가 됩니다.

step4. 점 C의 $y$ 좌표 구하기

점 C는 곡선 $y = f (x)$ 위의 점이므로, 구한 $x_{C}$ 를 함수식에 대입해 볼게요.

$y_{C} = f (x_{A} + 2) = 3 \sin (\frac{π}{2} (x_{A} + 2))$

괄호 안을 전개하면,

$y_{C} = 3 \sin (\frac{π}{2} x_{A} + π)$ 가 됩니다.

여기서 $\sin (θ + π) = - \sin θ$ 성질을 이용하면,

$y_{C} = - 3 \sin (\frac{π}{2} x_{A})$ 로 간단히 정리할 수 있어요.

그런데 점 A도 곡선 $y = f (x)$ 위의 점이고 $y$ 좌표가 $- t$ 이므로, $3 \sin (\frac{π}{2} x_{A}) = - t$ 라는 것을 알고 있죠?

이 값을 그대로 대입하면,

$y_{C} = - (- t) = t$ 가 됩니다.

$t$ 의 범위가 $0 < t < 3$ 이므로 $y_{C} = t$ 는 양수이고, 선분 AB의 $y$ 좌표인 $- t$ 는 음수입니다. 즉, 점 C는 선분 AB보다 위쪽에 위치한다는 것을 확인할 수 있어요. 방향을 반대로 생각하지 않도록 조심해야 해요.

step5. 정삼각형의 높이를 이용하여 $t$ 구하기

이제 정삼각형의 높이를 두 가지 방법으로 구해서 비교해 볼 거예요.

첫째, 기하학적 공식으로 구한 높이입니다.

한 변의 길이가 4인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2 \sqrt{3}$ 이에요.

둘째, 좌표를 이용해 구한 높이입니다.

점 C의 $y$ 좌표에서 선분 AB의 $y$ 좌표를 빼면 높이가 되죠.

$y_{C} - y_{A} = t - (- t) = 2 t$ 가 됩니다.

이 두 값이 같아야 하므로,

$2 t = 2 \sqrt{3}$

따라서 $t = \sqrt{3}$ 입니다.

step1. 함수 $f (x)$ 의 주기 확인하기

$T = \frac{2 π}{π / 2} = 4$

step2. 두 점 A, B의 위치 관계 파악하기

$A (x_{A}, - t), B (x_{B}, - t)$ 라 하면 $A B = 4$

$x_{B} - x_{A} = 4$ --- 주기가 4이므로 A, B는 한 주기 간격의 점

step3. 점 C의 $x$ 좌표 구하기

$x_{C} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = x_{A} + 2$ --- 정삼각형의 꼭짓점 C는 AB의 수직이등분선 위에 있으므로

step4. 점 C의 $y$ 좌표 구하기

$y_{C} = f (x_{A} + 2) = 3 \sin (\frac{π}{2} (x_{A} + 2))$

$= 3 \sin (\frac{π}{2} x_{A} + π) = - 3 \sin (\frac{π}{2} x_{A})$

$= - (- t) = t$

step5. 정삼각형의 높이를 이용하여 $t$ 구하기

정삼각형의 높이 $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2 \sqrt{3}$

$y_{C} - y_{A} = t - (- t) = 2 t$

$2 t = 2 \sqrt{3}$

$t = \sqrt{3}$

$∴ ③$

🔒 막힌 이유

삼각함수 방정식 $3 \sin \frac{π}{2} x = - t$ 를 직접 풀어서 A와 B의 좌표를 구하려고 시도하다가 막히기 쉽습니다.
선분 AB의 길이가 4라는 조건과 함수 $f (x)$ 의 주기가 4라는 사실을 연결하지 못해 다음 단계로 넘어가지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

함수식에 미지수가 없고 삼각함수가 주어졌다면 가장 먼저 '주기'를 구해보세요. 주기가 4인데 선분 AB의 길이도 4라면, 두 점은 정확히 한 주기 간격으로 떨어져 있다는 뜻입니다.
정삼각형의 대칭성을 이용해 점 C의 $x$ 좌표가 A와 B의 중점임을 파악하고, 삼각함수의 반주기 평행이동 성질( $\sin (θ + π) = - \sin θ$ )을 활용하세요.
확장 팁: 삼각함수 그래프와 도형이 결합된 문제는 직접적인 좌표 계산보다 '주기'와 '대칭성'을 먼저 관찰하는 것이 핵심입니다.

2024년 9월 학력평가 고2 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 삼각함수 / 주기성 / 대칭성 / 정삼각형
난이도	상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구