수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 원리 정리

먼저 $f(n)$과 $g(n)$이 어떤 값을 가지는지 알아볼게요.

$f(n)$은 $n^2+1$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수예요. 여기서 $n^2+1$은 어떤 실수 $n$이 들어가도 항상 양수라는 점이 중요해요. 따라서 $n$이 홀수이면 $f(n)=1$, 짝수이면 $f(n)=2$가 됩니다.

$g(n)$은 $n^2-8n+12$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수예요. $n$이 홀수이면 무조건 $g(n)=1$이지만, 짝수이면 $n^2-8n+12$의 부호에 따라 개수가 달라지겠죠?

step2. $n$이 홀수일 때

이제 $n$이 홀수일 때를 생각해 볼까요?

$n$이 홀수이면 거듭제곱근을 구하려는 수의 부호와 상관없이 실수인 거듭제곱근은 항상 1개예요.

그러니까 $f(n)=1$이고, $g(n)=1$이 됩니다.

이것을 문제의 조건인 $f(n)=2g(n)$에 대입해 보면 $1=2\times 1=2$가 되는데, 이는 말이 안 되죠?

따라서 홀수 중에는 조건을 만족하는 $n$이 없다는 것을 알 수 있어요.

step3. $n$이 짝수일 때

이번엔 $n$이 짝수일 때를 살펴볼게요.

$n$이 짝수일 때 $f(n)=2$라는 것은 step1에서 확인했어요.

이것을 $f(n)=2g(n)$에 대입하면 $2=2g(n)$이 되므로, 양변을 2로 나누면 $g(n)=1$이 되어야 해요.

$n$이 짝수일 때 $g(n)=1$이 되려면, 거듭제곱근을 구하려는 수인 $n^2-8n+12$가 정확히 0이 되어야 합니다.

이차방정식 $n^2-8n+12=0$을 풀어볼까요?

인수분해하면 $(n-2)(n-6)=0$이 되므로, $n=2$ 또는 $n=6$이 나옵니다.

여기서 구한 $n$의 값이 처음에 가정한 '짝수' 조건과 문제에 주어진 범위 $2\le n\le 10$을 모두 만족하는지 꼭 확인해야 해요!

다행히 $n=2$와 $n=6$은 모두 짝수이고 범위 안에도 잘 들어가네요.

step4. 모든 $n$의 값의 합 구하기

조건을 만족하는 자연수 $n$은 2와 6뿐이라는 것을 찾았어요.

따라서 모든 자연수 $n$의 값의 합은 $2+6=8$이 됩니다.

step1. 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 원리 정리

$f(n)$: $n^2+1>0$이므로 $n$이 홀수면 $1$, 짝수면 $2$

$g(n)$: $n$이 홀수면 $1$, 짝수면 $n^2-8n+12$의 부호에 따라 $2,1,0$

step2. $n$이 홀수일 때

$f(n)=1,g(n)=1$

$1\ne 2\times 1$   --- 모순이므로 해 없음

step3. $n$이 짝수일 때

$f(n)=2$

$2=2g(n)⟹g(n)=1$

$n$이 짝수일 때 $g(n)=1$이려면 $n^2-8n+12=0$이어야 함

$(n-2)(n-6)=0⟹n=2,6$

step4. 모든 $n$의 값의 합 구하기

$2+6=8$

$\therefore 8$