수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 치환하여 이차함수로 변환

먼저 주어진 함수 $f(x)$의 식을 변형해 볼게요.

$4^{x-a}=(2^2{)}^{x-a}=(2^{x-a}{)}^2$ 이므로,

$f(x)=(2^{x-a}{)}^2-8\times 2^{x-a}$ 로 쓸 수 있어요.

여기서 공통부분인 $2^{x-a}$를 $t$로 치환해 봅시다.

지수함수의 성질에 의해 $2^{x-a}>0$ 이므로, $t>0$ 이 됩니다.

이제 함수는 $t$에 대한 이차함수 $y=t^2-8t$ 가 되었어요.

step2. 이차함수의 최솟값 구하기

이차함수 $y=t^2-8t$ 의 최솟값을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형해 볼게요.

$y=t^2-8t=(t^2-8t+16)-16=(t-4{)}^2-16$

치환한 변수 $t$의 범위가 $t>0$이라는 것을 놓치기 쉽습니다. 범위 내에 꼭짓점이 포함되는지 꼭 확인해야 해요.

다행히 꼭짓점의 $t$ 좌표인 $4$는 $t>0$ 범위 안에 들어있네요.

따라서 이 함수는 $t=4$일 때 최솟값 $-16$을 가집니다.

step3. $a,b$ 값 구하기

앞서 구한 최솟값이 바로 문제에서 말하는 $b$입니다. 따라서 $b=-16$ 이에요.

최솟값을 가질 때의 $t$ 값을 원래의 $x$에 대한 식으로 되돌려 $a$를 구하는 것이 중요합니다.

$t=4$일 때 최솟값을 가지므로, 원래 식으로 되돌리면 $2^{x-a}=4$ 가 됩니다.

$4=2^2$ 이므로, 지수끼리 비교하면 $x-a=2$ 가 성립해야 해요.

문제에서 $x=5$일 때 최솟값을 가진다고 했으므로, $x$에 $5$를 대입하면

$5-a=2$ 가 되고, 이를 풀면 $a=3$ 이 됩니다.

최종적으로 우리가 구해야 하는 값은 $a+b$ 이므로,

$a+b=3+(-16)=-13$ 입니다.

step1. 치환하여 이차함수로 변환

$f(x)=(2^{x-a}{)}^2-8·2^{x-a}$

$t=2^{x-a}(t>0)$라 하면

$y=t^2-8t$

step2. 이차함수의 최솟값 구하기

$y=(t-4{)}^2-16$

--- $t>0$이므로 $t=4$일 때 최솟값 $-16$을 가짐

step3. $a,b$ 값 구하기

$b=-16$

$t=2^{x-a}=4=2^2$

$x-a=2$

--- $x=5$에서 최솟값을 가지므로

$5-a=2⟹a=3$

$\therefore a+b=3-16=-13$