2024년 9월 학력평가 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 로그의 성질을 이용해 식을 간단히 하고, 치환을 통해 대소 관계를 파악하는 방법으로 풀이합니다.

step1. 로그의 성질과 밑변환 공식을 이용하여 집합 $B$ 의 원소들을 간단히 정리합니다.

step2. $\log a = x$ 로 치환하고 $x$ 의 범위를 구합니다.

step3. $x$ 의 범위를 이용하여 네 원소의 대소 관계를 파악하고 $p, q, r, s$ 를 결정합니다.

step4. $\overset{―}{P S}$ 의 길이를 이용하여 $x$ 의 값을 구합니다.

step5. 구한 $x$ 를 이용하여 $\overset{―}{Q R}$ 의 길이를 구하고 최종 답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 성질 : $\log (x y) = \log x + \log y$ , $\log (\frac{x}{y}) = \log x - \log y$

- 밑변환 공식 : $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ . 특히 밑과 진수를 바꾸면 역수가 되어 $\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$ 가 됩니다.

5. 구체적 풀이

집합

B

의 원소들을 보면 밑이 10인 상용로그와 밑이

a

인 로그가 섞여 있어요. 이럴 때는 밑변환 공식을 써서 밑을 하나로 통일하는 것이 가장 먼저 해야 할 일이에요. 상용로그로 통일하고

\log a

를 하나의 문자

x

로 치환하면 식이 아주 깔끔해집니다.

step1. 집합 $B$ 의 원소 간단히 하기

집합 $B$ 의 원소들을 로그의 성질과 밑변환 공식을 이용해 상용로그로 통일해 볼게요.

$\log 10 a = \log 10 + \log a = 1 + \log a$

$\log \frac{10}{a} = \log 10 - \log a = 1 - \log a$

$\log_{a} 10 = \frac{1}{\log a}$

$\log_{a} \frac{a}{10} = \log_{a} a - \log_{a} 10 = 1 - \frac{1}{\log a}$

이렇게 모든 원소를 $\log a$ 에 대한 식으로 나타낼 수 있어요.

step2. 치환 및 범위 구하기

식이 복잡할 때는 공통 부분을 치환하면 대소 관계를 파악하기 쉬워집니다.

$\log a = x$ 라고 치환해 볼까요?

문제에서 $10 < a < 100$ 이라고 했으므로, 각 변에 상용로그를 취하면 $\log 10 < \log a < \log 100$ 이 됩니다.

즉, $1 < x < 2$ 라는 범위를 얻을 수 있어요.

step3. 대소 관계 파악하기

이제 집합 $B$ 의 원소들은 $1 + x$ , $1 - x$ , $\frac{1}{x}$ , $1 - \frac{1}{x}$ 가 되었어요.

$1 < x < 2$ 이므로 각 값의 범위를 생각해 봅시다.

$1 + x$ 는 $2 < 1 + x < 3$ 이므로 가장 큰 값이에요.

$1 - x$ 는 $- 1 < 1 - x < 0$ 이므로 유일한 음수, 즉 가장 작은 값이에요.

$\frac{1}{x}$ 는 $\frac{1}{2} < \frac{1}{x} < 1$ 이고,

$1 - \frac{1}{x}$ 는 $0 < 1 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ 이에요.

역수를 취하거나 부호를 바꿀 때 부등호의 방향이 바뀌는 것에 주의해야 해요.

따라서 대소 관계는 $1 - x < 1 - \frac{1}{x} < \frac{1}{x} < 1 + x$ 가 됩니다.

조건 (가)에서 $p < q < r < s$ 라고 했으므로,

$p = 1 - x$ , $q = 1 - \frac{1}{x}$ , $r = \frac{1}{x}$ , $s = 1 + x$ 로 결정됩니다.

step4. $x$ 의 값 구하기

문제에서 $\overset{―}{P S} = \frac{10}{3}$ 이라고 주어졌어요.

수직선 위에서 두 점 사이의 거리는 큰 좌표에서 작은 좌표를 빼면 되죠.

$\overset{―}{P S} = s - p = (1 + x) - (1 - x) = 2 x$

따라서 $2 x = \frac{10}{3}$ 이고, $x = \frac{5}{3}$ 이 됩니다.

이 값은 $1 < x < 2$ 범위 안에 잘 들어가네요.

step5. 최종 정답 계산하기

이제 우리가 구해야 할 것은 $30 \times \overset{―}{Q R}$ 이에요.

먼저 $\overset{―}{Q R}$ 의 길이를 구해볼까요?

$\overset{―}{Q R} = r - q = \frac{1}{x} - (1 - \frac{1}{x}) = \frac{2}{x} - 1$

여기에 $x = \frac{5}{3}$ 을 대입하면,

$\overset{―}{Q R} = \frac{2}{5 / 3} - 1 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$ 이 됩니다.

마지막으로 $30 \times \overset{―}{Q R} = 30 \times \frac{1}{5} = 6$ 이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 집합 $B$ 의 원소 간단히 하기

$\log 10 a = 1 + \log a$

$\log \frac{10}{a} = 1 - \log a$

$\log_{a} 10 = \frac{1}{\log a}$

$\log_{a} \frac{a}{10} = 1 - \frac{1}{\log a}$

step2. 치환 및 범위 구하기

$\log a = x$ 라 하면, $10 < a < 100$ 이므로 $1 < x < 2$

step3. 대소 관계 파악하기

$1 - x < 0 < 1 - \frac{1}{x} < \frac{1}{2} < \frac{1}{x} < 1 < 1 + x$

$∴ p = 1 - x, q = 1 - \frac{1}{x}, r = \frac{1}{x}, s = 1 + x$

step4. $x$ 의 값 구하기

$\overset{―}{P S} = s - p = (1 + x) - (1 - x) = 2 x = \frac{10}{3}$

$∴ x = \frac{5}{3}$

step5. 최종 정답 계산하기

$\overset{―}{Q R} = r - q = \frac{1}{x} - (1 - \frac{1}{x}) = \frac{2}{x} - 1$

$x = \frac{5}{3}$ 대입: $\overset{―}{Q R} = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$

$∴ 30 \times \overset{―}{Q R} = 30 \times \frac{1}{5} = 6$

2024년 9월 학력평가 고2 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 로그 / 로그의 성질 / 대소 관계
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구