2024년 9월 학력평가 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 양변의 밑을 같게 만들어 지수끼리 비교하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 우변의 상수를 좌변과 같은 밑을 가진 거듭제곱으로 변환합니다.

step2. 양변의 밑이 같아졌으므로 지수끼리 같다고 놓고 일차방정식을 세웁니다.

step3. 일차방정식을 풀어 $x$ 의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수방정식의 풀이 : $a > 0, a \neq 1$ 일 때, $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ 이면 $f (x) = g (x)$ 이다.

5. 구체적 풀이

지수방정식을 보면 가장 먼저 '양변의 밑을 똑같이 맞출 수 있을까?'를 고민해야 해요. 좌변의 밑이 3이니까, 우변의 27도 3의 거듭제곱으로 바꿀 수 있는지 확인해 보는 것이 핵심입니다.

step1. 우변을 3의 거듭제곱으로 바꾸기

주어진 방정식은 $3^{2 x - 1} = 27$ 입니다. 우변의 $27$ 을 소인수분해해 보면 $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^{3}$ 이 됩니다. 지수방정식을 풀 때는 양변의 밑을 같게 만들어 주는 것이 가장 중요해요. 따라서 방정식을 $3^{2 x - 1} = 3^{3}$ 으로 고쳐 쓸 수 있습니다.

step2. 지수끼리 비교하여 방정식 세우기

이제 양변의 밑이 $3$ 으로 똑같아졌습니다. 밑이 같을 때는 지수끼리도 같아야만 등식이 성립하겠죠? 밑을 무시하고 지수만 비교할 때는 반드시 양변의 밑이 완전히 똑같은지 먼저 확인해야 합니다. 따라서 지수 부분만 떼어내어 $2 x - 1 = 3$ 이라는 일차방정식을 세울 수 있습니다.

step3. 일차방정식 풀기

세워진 일차방정식 $2 x - 1 = 3$ 을 풀어봅시다. $- 1$ 을 우변으로 이항하면 $2 x = 3 + 1$ , 즉 $2 x = 4$ 가 됩니다. 양변을 $2$ 로 나누면 $x = 2$ 가 됩니다. 따라서 우리가 구하고자 하는 실수 $x$ 의 값은 $2$ 입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 우변을 3의 거듭제곱으로 바꾸기

$3^{2 x - 1} = 27$

$3^{2 x - 1} = 3^{3}$

step2. 지수끼리 비교하여 방정식 세우기

$2 x - 1 = 3$ --- 밑이 같으므로 지수끼리 비교

step3. 일차방정식 풀기

$2 x = 4$

$x = 2$

$∴ 2$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

우변의 $27$ 을 $3$ 의 거듭제곱으로 바꾸는 것을 떠올리지 못해 시작을 못 할 수 있습니다.
밑을 같게 만든 후 지수끼리 비교하여 방정식을 세우는 성질을 잊어버렸을 수 있습니다.

🔑 돌파구

지수방정식을 풀 때는 양변의 밑을 같게 만드는 것이 가장 첫 번째 단계임을 기억하세요. $27$ 을 소인수분해하여 $3^{3}$ 으로 바꿉니다.
밑이 같아지면 지수끼리 같다고 놓고 일차방정식을 세워 풉니다.
팁: $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ 형태를 만들면 $f (x) = g (x)$ 로 간단히 풀 수 있습니다.

2024년 9월 학력평가 고2 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 지수방정식
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구