수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 (가) 정리하기

조건 (가)에서 $0<\log b-\log a<1$ 이에요.

로그의 성질을 이용하면 $\log b-\log a=\log \frac{b}{a}$ 가 되죠.

따라서 $0<\log \frac{b}{a}<1$ 입니다.

상용로그의 밑은 10이므로, 이를 지수 형태로 바꾸면 ${10}^0<\frac{b}{a}<{10}^1$, 즉 $1<\frac{b}{a}<10$ 이 됩니다.

$a$는 자연수이므로 양변에 $a$를 곱해도 부등호 방향은 바뀌지 않아요.

$a<b<10a$ 라는 첫 번째 범위를 얻을 수 있습니다.

step2. 조건 (나) 정리하기

조건 (나)에서 $2a+\log b<9$ 이에요.

$\log b$ 만 남기고 이항하면 $\log b<9-2a$ 가 됩니다.

마찬가지로 지수 형태로 바꾸면 $b<{10}^{9-2a}$ 가 되죠.

여기서 $a$가 커지면 ${10}^{9-2a}$의 값이 급격히 작아진다는 점을 놓치기 쉽습니다. $b$는 자연수이므로 $b\ge 1$이어야 한다는 사실을 기억하세요.

step3. $a$에 자연수 대입하여 $b$의 개수 구하기

이제 $a=1$부터 차례로 대입하며 $b$의 범위를 구해볼게요.

- $a=1$일 때:

(가)에서 $1<b<10$

(나)에서 $b<{10}^7$

공통 범위는 $1<b<10$ 이므로, 자연수 $b$는 $2,3,4,5,6,7,8,9$ 로 총 8개입니다.

- $a=2$일 때:

(가)에서 $2<b<20$

(나)에서 $b<{10}^5$

공통 범위는 $2<b<20$ 이므로, 자연수 $b$는 $3,4,\dots ,19$ 로 총 17개입니다.

- $a=3$일 때:

(가)에서 $3<b<30$

(나)에서 $b<{10}^3$

공통 범위는 $3<b<30$ 이므로, 자연수 $b$는 $4,5,\dots ,29$ 로 총 26개입니다.

- $a=4$일 때:

(가)에서 $4<b<40$

(나)에서 $b<{10}^1=10$

공통 범위는 $4<b<10$ 이므로, 자연수 $b$는 $5,6,7,8,9$ 로 총 5개입니다.

- $a=5$일 때:

(가)에서 $5<b<50$

(나)에서 $b<{10}^{-1}=0.1$

$b<0.1$을 만족하는 자연수 $b$는 존재하지 않습니다. $a$가 5 이상일 때는 더 이상 조건을 만족하는 $b$가 없어요.

step4. 최종 정답 도출

구한 개수를 모두 더해줍니다.

$8+17+26+5=56$

따라서 조건을 만족하는 모든 순서쌍 $(a,b)$의 개수는 56개입니다.

step1. 조건 (가) 정리

$0<\log b-\log a<1$

$0<\log \frac{b}{a}<1$

$1<\frac{b}{a}<10$

$a<b<10a$   --- $a$는 자연수이므로

step2. 조건 (나) 정리

$2a+\log b<9$

$\log b<9-2a$

$b<{10}^{9-2a}$

step3. $a$에 자연수 대입

$a=1$: $1<b<10$ 이고 $b<{10}^7$ $⟹1<b<10$   --- 8개

$a=2$: $2<b<20$ 이고 $b<{10}^5$ $⟹2<b<20$   --- 17개

$a=3$: $3<b<30$ 이고 $b<{10}^3$ $⟹3<b<30$   --- 26개

$a=4$: $4<b<40$ 이고 $b<{10}^1$ $⟹4<b<10$   --- 5개

$a\ge 5$: $b<{10}^{-1}$ $⟹$ 자연수 $b$ 없음

step4. 최종 정답 도출

$8+17+26+5=56$

$\therefore 56$