2024년 9월 학력평가 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

30. 첫째항이 정수인 수열

{a_{n}}

이 두 정수

d, r

에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 자연수

n

에 대하여

a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + d & (a_{n} \geq 0) \\ r a_{n} & (a_{n} < 0) \end{matrix}

이다.
(나)

a_{k} = a_{k + 12} = 0

인 자연수

k

가 존재한다.

a_{2} + a_{3} = 0, a_{5} = 16

이 되도록 하는 모든

a_{1}

의 값의 합을 구하시오. [4점]

이 문제는 수열의 귀납적 정의와 주기성을 분석하여 조건을 만족하는 초기항을 역추적할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

a_{1} \in ℤ

d, r \in ℤ

a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + d & (a_{n} \geq 0) \\ r a_{n} & (a_{n} < 0) \end{matrix}

\exists k \in ℕ, a_{k} = a_{k + 12} = 0

- a₂ + a₃ = 0
- a₅ = 16

이 문제는 조건 (나)를 통해 수열의 주기성을 파악하여 $d, r$ 의 범위를 좁히고, 조건 (가)를 이용해 경우를 나누어 역추적하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 조건 (나)를 이용해 $d, r$ 의 부호와 수열의 주기를 파악합니다.

step2. $a_{2} \geq 0$ 일 때 조건을 만족하는 $r$ 과 $d$ 를 찾습니다.

step3. 찾은 $r, d$ 값을 바탕으로 $a_{1}$ 을 역추적합니다.

step4. $a_{2} < 0$ 일 때의 경우를 분석하여 모순이 없는지 확인합니다.

step5. 가능한 모든 $a_{1}$ 의 합을 구합니다.

- 수열의 귀납적 정의 : 이전 항의 부호(양수/음수)에 따라 다음 항을 구하는 규칙이 달라지는 성질을 이용하여 항을 전개하거나 역추적합니다.

- 주기성 : 일정한 간격으로 같은 값이 반복되는 성질입니다. $a_{k} = a_{k + 12} = 0$ 이라는 것은 0이 반복해서 나타남을 의미하며, 12가 주기의 배수임을 뜻합니다.

이 문제를 처음 보면 '0이 12칸 간격으로 다시 등장하네? 0에서 출발해서 다시 0이 되려면

d

와

r

은 어떤 부호여야 할까?'라는 생각부터 시작해야 해요.

d

가 양수면 계속 커지기만 하니까 다시 0이 될 수 없겠죠? 여기서

d

와

r

의 부호를 알아내고 주기를 구하는 것이 이 문제의 가장 중요한 열쇠랍니다.

step1. $d$ 와 $r$ 의 부호 결정 및 주기 파악

조건 (나)에서 $a_{k} = 0$ 이라고 했어요. 0은 양수 조건( $\geq 0$ )에 해당하므로 다음 항은 $a_{k + 1} = 0 + d = d$ 가 됩니다.

만약 $d \geq 0$ 이라면, 계속 양수 조건을 타게 되어 $a_{k + 2} = 2 d, a_{k + 3} = 3 d \dots$ 이렇게 계속 커지거나 0에 머물게 됩니다. 그러면 $a_{5} = 16$ 을 만들 수 없거나, 다시 0으로 돌아올 수 없어요. 따라서 $d < 0$ 이어야 합니다.

$d < 0$ 이므로 $a_{k + 1} = d < 0$ 입니다. 음수 조건을 타게 되므로 $a_{k + 2} = r d$ 가 되죠.

여기서 만약 $r \geq 0$ 이라면, $r d \leq 0$ 이 되어 수열이 계속 음수이거나 0에 머물게 됩니다. 다시 0으로 돌아오려면 양수로 올라갔다가 $d$ (음수)를 더하면서 내려와야 하므로, $r < 0$ 이어야 합니다.

이제 0으로 돌아오는 주기를 구해볼까요?

$a_{k + 2} = r d > 0$ 입니다. 이제 양수이므로 계속 $d$ 를 더해나갑니다.

$a_{k + 3} = r d + d = d (r + 1)$

$a_{k + 4} = d (r + 2)$

$\dots$

$a_{k + m} = d (r + m - 2)$

이 값이 다시 0이 되려면 $r + m - 2 = 0$ , 즉 $m = 2 - r$ 이어야 합니다.

따라서 $a_{k + 2 - r} = 0$ 이 되고, 이 수열은 $2 - r$ 을 주기로 0이 반복됩니다.

조건 (나)에서 $a_{k + 12} = 0$ 이라고 했으므로, 12는 주기 $2 - r$ 의 배수여야 해요.

$r < 0$ 인 정수이므로 $2 - r \geq 3$ 입니다. 12의 약수 중 3 이상인 것은 3, 4, 6, 12입니다.

따라서 $2 - r \in {3, 4, 6, 12}$ 이고, 가능한 $r$ 의 값은 $- 1, - 2, - 4, - 10$ 입니다.

step2. $a_{2} \geq 0$ 일 때의 분석

이제 조건 $a_{2} + a_{3} = 0$ 을 이용해 경우를 나누어 볼게요.

먼저 $a_{2} \geq 0$ 인 경우입니다.

$a_{3} = a_{2} + d$ 가 되므로, $a_{2} + (a_{2} + d) = 0 ⟹ d = - 2 a_{2}$ 입니다.

$d < 0$ 이므로 $a_{2} > 0$ 이어야 합니다.

이제 $a_{5} = 16$ 을 향해 전개해 봅시다.

$a_{3} = - a_{2} < 0$

$a_{4} = r a_{3} = - r a_{2} > 0$ ( $r < 0, a_{2} > 0$ 이므로)

$a_{5} = a_{4} + d = - r a_{2} - 2 a_{2} = - a_{2} (r + 2) = 16$

$a_{2} > 0$ 이므로 $16$ 이 되려면 $r + 2 < 0$ , 즉 $r < - 2$ 여야 합니다.

앞서 구한 $r$ 의 후보 ${- 1, - 2, - 4, - 10}$ 중 이 조건을 만족하는 것은 $r = - 4$ 와 $r = - 10$ 뿐입니다.

step3. $r = - 4, - 10$ 일 때 $a_{1}$ 역추적

(1) $r = - 4$ 일 때

$- a_{2} (- 4 + 2) = 16 ⟹ 2 a_{2} = 16 ⟹ a_{2} = 8$ 입니다.

$d = - 2 a_{2} = - 16$ 이 되죠.

이제 $a_{1}$ 을 구해봅시다.

- $a_{1} \geq 0$ 이었다면: $a_{1} + d = a_{2} ⟹ a_{1} - 16 = 8 ⟹ a_{1} = 24$ (조건 만족)

- $a_{1} < 0$ 이었다면: $r a_{1} = a_{2} ⟹ - 4 a_{1} = 8 ⟹ a_{1} = - 2$ (조건 만족)

(2) $r = - 10$ 일 때

$- a_{2} (- 10 + 2) = 16 ⟹ 8 a_{2} = 16 ⟹ a_{2} = 2$ 입니다.

$d = - 2 a_{2} = - 4$ 가 됩니다.

이제 $a_{1}$ 을 구해봅시다.

- $a_{1} \geq 0$ 이었다면: $a_{1} + d = a_{2} ⟹ a_{1} - 4 = 2 ⟹ a_{1} = 6$ (조건 만족)

- $a_{1} < 0$ 이었다면: $r a_{1} = a_{2} ⟹ - 10 a_{1} = 2 ⟹ a_{1} = - \frac{1}{5}$ (정수가 아니므로 탈락)

따라서 여기까지 찾은 $a_{1}$ 은 $24, - 2, 6$ 입니다.

step4. $a_{2} < 0$ 일 때의 분석

이번엔 $a_{2} < 0$ 인 경우를 살펴볼게요.

$a_{3} = r a_{2}$ 가 되므로, $a_{2} + r a_{2} = 0 ⟹ a_{2} (1 + r) = 0$ 입니다.

$a_{2} < 0$ 이므로 $r = - 1$ 이어야 합니다.

$a_{3} = - a_{2} > 0$ 이 되고, $a_{4} = a_{3} + d = - a_{2} + d$ 가 됩니다.

여기서 $a_{1}$ 의 부호를 생각해 볼까요?

만약 $a_{1} < 0$ 이면 $a_{2} = r a_{1} = - a_{1} > 0$ 이 되어 $a_{2} < 0$ 이라는 가정에 모순됩니다. 따라서 $a_{1} \geq 0$ 이어야 해요.

그러면 $a_{2} = a_{1} + d < 0$ 이고, $a_{3} = - a_{1} - d > 0$ 입니다.

$a_{4} = a_{3} + d = - a_{1} \leq 0$ 이 됩니다.

- 만약 $a_{4} = 0$ 이면 $a_{1} = 0$ 입니다. 그러면 $a_{2} = d, a_{3} = - d, a_{4} = 0, a_{5} = d = 16$ 이 되는데, $d < 0$ 이어야 하므로 모순입니다.

- 만약 $a_{4} < 0$ 이면 $a_{1} > 0$ 입니다. $a_{5} = r a_{4} = (- 1) (- a_{1}) = a_{1} = 16$ 이 됩니다.

$a_{1} = 16$ 이 답이 될 수 있는지 반드시 검증해야 합니다.

$a_{1} = 16$ 이면 $a_{2} = 16 + d < 0$ 이므로 $d \leq - 17$ 입니다.

수열을 전개해보면 $16, 16 + d, - 16 - d, - 16, 16, 16 + d \dots$ 이렇게 4개의 항이 반복됩니다.

그런데 이 4개의 항 중 어느 것도 0이 될 수 없습니다 ( $16 + d = 0$ 이려면 $d = - 16$ 이어야 하는데 $d \leq - 17$ 에 모순).

즉, 수열에 0이 등장하지 않으므로 조건 (나)의 ' $a_{k} = 0$ '을 만족하지 못합니다.

따라서 $a_{2} < 0$ 인 경우에는 해가 존재하지 않습니다.

step5. 최종 정답 계산

모든 경우를 분석한 결과, 조건을 만족하는 $a_{1}$ 의 값은 $24, - 2, 6$ 입니다.

따라서 모든 $a_{1}$ 의 값의 합은 $24 + (- 2) + 6 = 28$ 이 됩니다.

step1. d와 r의 부호 및 주기 파악

$a_{k} = 0 ⟹ a_{k + 1} = d$

$d \geq 0$ 이면 다시 0 불가 $∴ d < 0$

$a_{k + 2} = r d$ . $r \geq 0$ 이면 다시 0 불가 $∴ r < 0$

$a_{k + 2} = r d > 0 ⟹ a_{k + 2 - r} = r d + (- r) d = 0$

주기 $P = 2 - r$

$a_{k + 12} = 0 ⟹ 12 = m (2 - r)$

$r < 0 ⟹ 2 - r \in {3, 4, 6, 12} ⟹ r \in {- 1, - 2, - 4, - 10}$

$(s t e p 2 . a_{2} \geq 0 일 때 의 분 석)$

$a_{3} = a_{2} + d ⟹ 2 a_{2} + d = 0 ⟹ d = - 2 a_{2}$

$a_{3} = - a_{2} < 0$

$a_{4} = - r a_{2} > 0$

$a_{5} = - r a_{2} + d = - a_{2} (r + 2) = 16$

$a_{2} > 0 ⟹ r + 2 < 0 ⟹ r \in {- 4, - 10}$

step3. r = -4, -10일 때 a₁ 역추적

$r = - 4$ 일 때: $2 a_{2} = 16 ⟹ a_{2} = 8, d = - 16$

--- $a_{1} \geq 0$ 이면 $a_{1} - 16 = 8 ⟹ a_{1} = 24$

--- $a_{1} < 0$ 이면 $- 4 a_{1} = 8 ⟹ a_{1} = - 2$

$r = - 10$ 일 때: $8 a_{2} = 16 ⟹ a_{2} = 2, d = - 4$

--- $a_{1} \geq 0$ 이면 $a_{1} - 4 = 2 ⟹ a_{1} = 6$

--- $a_{1} < 0$ 이면 $- 10 a_{1} = 2$ (정수 아님)

step4. a₂ < 0일 때의 분석

$a_{3} = r a_{2} ⟹ a_{2} (1 + r) = 0 ⟹ r = - 1$

$a_{1} < 0$ 이면 $a_{2} = - a_{1} > 0$ (모순) $∴ a_{1} \geq 0$

$a_{2} = a_{1} + d < 0, a_{3} = - a_{1} - d > 0, a_{4} = - a_{1} \leq 0$

$a_{4} = 0$ 이면 $a_{1} = 0, a_{5} = d = 16$ --- d<0 모순

$a_{4} < 0$ 이면 $a_{5} = a_{1} = 16 ⟹ d \leq - 17$

--- 수열이 $16, 16 + d, - 16 - d, - 16$ 반복. 0이 될 수 없어 조건 (나) 위배.

step5. 최종 정답 계산

$∴ a_{1} = 24, - 2, 6$

합 = 28

🔒 막힌 이유

조건 (나)에서 $a_{k} = a_{k + 12} = 0$ 이라는 사실로부터 $d$ 와 $r$ 의 부호를 결정하고, 수열이 0을 주기로 갖는다는 점을 파악하지 못해 막힐 수 있습니다.
$a_{2}$ 의 부호에 따라 경우를 나누어 $a_{5} = 16$ 을 만족하는 $r$ 과 $d$ 를 찾는 과정에서 논리적 누락이 발생하거나, 구한 해가 조건 (나)를 만족하는지 검증하는 것을 잊기 쉽습니다.

🔑 돌파구

$a_{k} = 0$ 일 때 다음 항들을 직접 나열해 보세요. $d \geq 0$ 이거나 $r \geq 0$ 이면 다시 0이 될 수 없음을 통해 $d < 0, r < 0$ 임을 알아내고, 0으로 돌아오는 주기 $P = 2 - r$ 을 구하는 것이 핵심입니다.
$a_{2} \geq 0$ 인 경우와 $a_{2} < 0$ 인 경우로 나누어 $a_{2} + a_{3} = 0$ 조건을 적용하고, 가능한 $r$ 의 후보 중 조건에 맞는 값을 찾아 역추적하세요. 마지막에 구한 수열이 실제로 0을 지나는지 꼭 확인해야 합니다.
(팁: 0이 반복해서 등장하는 수열은 반드시 주기를 가짐을 기억하세요.)

2024년 9월 학력평가 고2 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 수열 / 수열의 귀납적 정의 / 주기성 / 추론
난이도	최상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구