수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f(x)$의 역함수와 $g(x)$의 관계 파악

$f(x)={\log }_2(x-k)$의 역함수를 구해봅시다.

$y={\log }_2(x-k)$에서 $x-k=2^y$, 즉 $x=2^y+k$입니다.

$x$와 $y$를 바꾸면 역함수 $f^{-1}(x)=2^x+k$가 됩니다.

이제 $g(x)=2^{x+1}+k+1$과 비교해볼까요?

$g(x)=2^{x+1}+k+1=(2^{x+1}+k)+1=f^{-1}(x+1)+1$입니다.

이것은 $y=f^{-1}(x)$의 그래프를 $x$축 방향으로 $-1$만큼, $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 $y=g(x)$의 그래프가 된다는 뜻입니다.

step2. 점 A를 이용한 점 B의 좌표 표현

점 A는 $y=f(x)$와 직선 $y=-x+2k$의 교점입니다. 점 A의 좌표를 $(a,-a+2k)$라고 해볼게요.

점 A를 $y=x$에 대해 대칭이동한 점을 $A^{\prime }$라고 하면, $A^{\prime }$의 좌표는 $(-a+2k,a)$가 됩니다.

이때 $A^{\prime }$는 $f(x)$의 역함수인 $y=f^{-1}(x)$ 위의 점이 됩니다.

또한, 직선 $y=-x+2k$는 기울기가 -1이므로 $y=x$에 대해 대칭이동해도 식이 변하지 않습니다. 따라서 $A^{\prime }$ 역시 직선 $y=-x+2k$ 위에 있습니다.

이제 점 $A^{\prime }$를 $x$축 방향으로 $-1$만큼, $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동한 점을 $A^{″}$라고 합시다.

$A^{″}$의 좌표는 $(-a+2k-1,a+1)$이 됩니다.

step1에서 확인했듯이, 이 평행이동을 거치면 $A^{″}$는 $y=g(x)$ 위의 점이 됩니다.

여기서 $A^{″}$가 직선 $y=-x+2k$ 위에도 있는지 꼭 확인해야 합니다.

직선 $y=-x+2k$를 $x$축으로 $-1$, $y$축으로 $1$만큼 평행이동하면:

$y-1=-(x+1)+2k⟹y=-x-1+2k+1⟹y=-x+2k$

놀랍게도 직선의 방정식이 그대로 유지됩니다!

따라서 $A^{″}$는 $y=g(x)$와 직선 $y=-x+2k$의 교점이 되며, 이 점이 바로 문제에서 말하는 점 B입니다.

즉, $B(-a+2k-1,a+1)$입니다.

step3. 선분 AB의 길이를 이용한 좌표 계산

점 A$(a,-a+2k)$와 점 B$(-a+2k-1,a+1)$ 사이의 거리가 $7\sqrt{2}$라는 조건을 이용합시다.

두 점 모두 기울기가 -1인 직선 위에 있으므로, 두 점 사이의 거리는 ($x$좌표의 차이) $\times \sqrt{2}$로 간단히 구할 수 있습니다.

그림에서 점 A의 $x$좌표가 점 B의 $x$좌표보다 크므로,

$x$좌표의 차이 = $a-(-a+2k-1)=2a-2k+1$입니다.

따라서 $\overline{AB}=(2a-2k+1)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$가 됩니다.

$2a-2k+1=7$

$2a-2k=6$

$a-k=3⟹a=k+3$

이를 통해 점 A의 좌표를 $k$로 표현하면 $(k+3,-(k+3)+2k)=(k+3,k-3)$이 됩니다.

step4. $k$의 값 도출

점 A$(k+3,k-3)$은 $y=f(x)={\log }_2(x-k)$ 위의 점이므로 대입해봅시다.

$k-3={\log }_2(k+3-k)$

$k-3={\log }_{2}3$

$k=3+{\log }_{2}3$

$3={\log }_2{2}^3={\log }_{2}8$이므로,

$k={\log }_{2}8+{\log }_{2}3={\log }_2(8\times 3)={\log }_{2}24$입니다.

step1. $f(x)$의 역함수와 $g(x)$의 관계 파악

$f(x)={\log }_2(x-k)⟹f^{-1}(x)=2^x+k$

$g(x)=2^{x+1}+k+1=f^{-1}(x+1)+1$

--- $y=f^{-1}(x)$를 $x$축으로 $-1$, $y$축으로 $1$만큼 평행이동

step2. 점 A를 이용한 점 B의 좌표 표현

$A(a,-a+2k)$라 하면, $y=x$ 대칭점 $A^{\prime }(-a+2k,a)$는 $y=f^{-1}(x)$와 $y=-x+2k$의 교점.

$A^{\prime }$를 $x$축으로 $-1$, $y$축으로 $1$만큼 평행이동한 점 $A^{″}(-a+2k-1,a+1)$은 $y=g(x)$ 위의 점.

직선 $y=-x+2k$도 동일한 평행이동에 대해 불변이므로 $A^{″}$는 직선 위의 점.

$\therefore B(-a+2k-1,a+1)$

step3. 선분 AB의 길이를 이용한 좌표 계산

$\overline{AB}=(a-(-a+2k-1))\sqrt{2}=(2a-2k+1)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$

$2a-2k+1=7⟹a=k+3$

$\therefore A(k+3,k-3)$

step4. $k$의 값 도출

$A$는 $y={\log }_2(x-k)$ 위의 점이므로

$k-3={\log }_2(k+3-k)={\log }_{2}3$

$k=3+{\log }_{2}3={\log }_{2}8+{\log }_{2}3={\log }_{2}24$

$\therefore$ ④