수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $h(x)=g(x)-f(x)$로 치환하기

우리가 구해야 할 값은 $g(5)-f(5)$입니다. 따라서 $f(x)$와 $g(x)$를 따로 구하기보다는, 두 함수의 차이를 나타내는 새로운 함수 $h(x)=g(x)-f(x)$를 정의하는 것이 훨씬 효율적입니다. 이렇게 하면 구해야 할 값은 $h(5)$가 됩니다. 두 함수의 차를 묻는 문제에서는 $h(x)=g(x)-f(x)$로 치환하여 하나의 함수로 다루는 것이 좋습니다.

step2. $x\to \infty$ 극한 조건으로 $h(x)$의 최고차항 계수 구하기

첫 번째 조건인 ${lim}_{x\to \infty }\frac{f(x)}{g(x)-x^2}=1$을 살펴봅시다.

$f(x)$와 $g(x)$는 모두 이차함수이므로, $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $g(x)=p{x}^2+qx+r$ ($a\ne 0,p\ne 0$)로 둘 수 있습니다.

이때 분모는 $g(x)-x^2=(p-1)x^2+qx+r$이 됩니다.

$x$가 무한대로 갈 때 극한값이 1(0이 아닌 상수)이 나오려면, 분자와 분모의 차수가 같고 최고차항의 계수비가 1이어야 합니다.

분자인 $f(x)$의 최고차항 계수는 $a$이고, 분모인 $g(x)-x^2$의 최고차항 계수는 $p-1$이므로, $\frac{a}{p-1}=1$이 성립합니다.

이를 정리하면 $a=p-1$, 즉 $p-a=1$이 됩니다.

우리가 정의한 $h(x)=g(x)-f(x)$의 최고차항(이차항)의 계수는 바로 $p-a$입니다.

따라서 $h(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차함수임을 알 수 있습니다.

$g(x)$의 최고차항 계수를 1로 착각하기 쉬운데, $g(x)-f(x)$의 최고차항 계수가 1이라는 점을 정확히 짚고 넘어가야 합니다.

step3. $x\to 3$ 극한 조건으로 $h(x)$ 식 완성하기

두 번째 조건인 ${lim}_{x\to 3}\frac{g(x)-f(x)}{x-3}=8$을 $h(x)$로 표현하면 ${lim}_{x\to 3}\frac{h(x)}{x-3}=8$이 됩니다.

$x\to 3$일 때 분모가 0으로 수렴하므로, 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 수렴해야 합니다.

즉, $h(3)=0$입니다.

$h(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이고 $x=3$을 근으로 가지므로, $h(x)=(x-3)(x-k)$ 꼴로 식을 세울 수 있습니다.

이 식을 극한에 대입하면,

${lim}_{x\to 3}\frac{(x-3)(x-k)}{x-3}={lim}_{x\to 3}(x-k)=3-k=8$이 됩니다.

따라서 $k=-5$입니다.

결과적으로 $h(x)=(x-3)(x+5)$라는 완벽한 식을 얻게 됩니다.

step4. 정답 도출하기

이제 우리가 구하고자 했던 $h(5)$의 값을 계산할 차례입니다.

$h(x)=(x-3)(x+5)$에 $x=5$를 대입하면,

$h(5)=(5-3)(5+5)=2\times 10=20$이 됩니다.

따라서 $g(5)-f(5)=20$입니다.

step1. $h(x)=g(x)-f(x)$로 치환

$h(x)=g(x)-f(x)$라 하자.

step2. $x\to \infty$ 극한 조건으로 $h(x)$의 최고차항 계수 구하기

$f(x)=a{x}^2+\cdots$, $g(x)=p{x}^2+\cdots$ 라 하면

${lim}_{x\to \infty }\frac{a{x}^2+\cdots }{(p-1)x^2+\cdots }=1$

--- 극한값이 1이므로 최고차항 계수가 같음

$a=p-1⟹p-a=1$

따라서 $h(x)$는 최고차항 계수가 1인 이차함수이다.

step3. $x\to 3$ 극한 조건으로 $h(x)$ 식 완성하기

${lim}_{x\to 3}\frac{h(x)}{x-3}=8$

--- 분모가 0으로 가므로 $h(3)=0$

$h(x)=(x-3)(x-k)$로 두면

${lim}_{x\to 3}(x-k)=3-k=8⟹k=-5$

$\therefore h(x)=(x-3)(x+5)$

step4. 정답 도출하기

$g(5)-f(5)=h(5)=(5-3)(5+5)=20$

$\therefore 20$