수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 9월 학력평가 고2 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류수학Ⅰ · 수열 / 점화식 / 주기성 / 추론
난이도상

🔍 이해용 풀이

문제
21. 수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) n이 3의 배수가 아닌 경우 an+1=(−1)n×an이다.
(나) n이 3의 배수인 경우 an+3=−an−n이다.
a20+a21=0일 때, ∑k=118ak의 값은? [4점]
① 57    ② 60    ③ 63    ④ 66    ⑤ 69

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 점화식의 규칙성을 파악하여 수열을 3개씩 묶어 합의 패턴을 찾고, 역추적을 통해 초항부터의 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- n이 3의 배수가 아닌 경우 an+1=(−1)n×an
- n이 3의 배수인 경우 an+3=−an−n
- a20+a21=0

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열을 3개씩 묶어 규칙을 파악하고, 대표항들 사이의 점화식을 만들어 역추적하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 조건 (가)를 이용하여 수열을 3개씩 묶었을 때의 규칙과 합을 구합니다.

step2. 조건 (나)와 step1의 결과를 결합하여 각 묶음의 첫 항들 사이의 점화식을 만듭니다.

step3. a20+a21=0 조건을 이용하여 a19의 값을 구합니다.

step4. 점화식을 역추적하여 필요한 항들을 구하고, 최종 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의 : 이웃하는 항들 사이의 관계식(점화식)을 통해 수열의 모든 항을 구하는 방법입니다.

- 주기성과 묶음(블록) 처리 : 일정한 패턴이 반복될 때, 여러 항을 하나의 묶음으로 처리하여 계산을 단순화하는 기법입니다.

5. 구체적 풀이

조건이 n이 3의 배수일 때와 아닐 때로 나뉘어 있네요. 그렇다면 수열이 3개 단위로 어떤 패턴을 가질 확률이 아주 높아요! a1,a2,a3를 a1으로, a4,a5,a6를 a4로 표현해보면서 3개씩 묶음의 규칙을 먼저 찾아보는 게 이 문제의 핵심 열쇠랍니다.

step1. 3개씩 묶어서 규칙 찾기

먼저 조건 (가)를 이용해서 수열을 3개씩 묶어볼게요. m번째 묶음은 a3m−2,a3m−1,a3m이 됩니다.

n=3m−2일 때 (묶음의 첫 번째에서 두 번째로 넘어갈 때):

a3m−1=(−1)3m−2a3m−2

n=3m−1일 때 (묶음의 두 번째에서 세 번째로 넘어갈 때):

a3m=(−1)3m−1a3m−1

이 두 식을 연결해 볼까요?

a3m=(−1)3m−1×(−1)3m−2a3m−2=(−1)6m−3a3m−2

여기서 지수 6m−3은 항상 홀수이므로, (−1)6m−3=−1이 됩니다.

따라서 모든 자연수 m에 대하여 a3m=−a3m−2라는 아주 중요한 규칙을 발견할 수 있어요!

이제 각 묶음의 합을 구해볼게요. m이 홀수일 때와 짝수일 때 부호가 달라지니 나누어 생각해야 해요.

- m이 홀수(1, 3, 5...)일 때: 3m−2는 홀수이므로 a3m−1=−a3m−2가 됩니다.

묶음의 합 = a3m−2−a3m−2−a3m−2=−a3m−2

- m이 짝수(2, 4, 6...)일 때: 3m−2는 짝수이므로 a3m−1=a3m−2가 됩니다.

묶음의 합 = a3m−2+a3m−2−a3m−2=a3m−2

step2. 조건 (나)를 이용해 대표항 점화식 만들기

이제 조건 (나)를 살펴볼게요. n이 3의 배수일 때, 즉 n=3m일 때의 조건이에요.

a3m+3=−a3m−3m

우리가 step1에서 찾은 보물 같은 규칙 a3m=−a3m−2를 여기에 대입해 볼까요?

그리고 a3m+3은 다음 묶음의 세 번째 항이므로, 같은 규칙에 의해 a3m+3=−a3m+1이 됩니다.

이것들을 모두 대입하면:

−a3m+1=−(−a3m−2)−3m

−a3m+1=a3m−2−3m

양변에 -1을 곱하면,

a3m+1=−a3m−2+3m

이 과정에서 부호를 헷갈리기 쉬우니 천천히 대입해야 해요. 이제 각 묶음의 첫 번째 항들 사이의 관계식이 완성되었어요!

step3. a19의 값 구하기

문제에서 주어진 힌트 a20+a21=0을 사용할 차례예요.

a19,a20,a21은 7번째 묶음(m=7)에 해당해요. 3m−2=19이므로 홀수네요.

조건 (가)에 따라 계산해 보면:

a20=(−1)19a19=−a19

a21=(−1)20a20=a20=−a19

두 항을 더하면:

a20+a21=−a19−a19=−2a19=0

따라서 a19=0이라는 것을 알 수 있습니다.

step4. 역추적 및 최종 합 계산하기

이제 step2에서 만든 점화식 a3m+1=−a3m−2+3m을 거꾸로 추적해 볼게요.

식을 a3m−2=−a3m+1+3m으로 정리하면 계산이 편해요.

m=6일 때: a16=−a19+18=0+18=18

m=5일 때: a13=−a16+15=−18+15=−3

m=4일 때: a10=−a13+12=−(−3)+12=15

m=3일 때: a7=−a10+9=−15+9=−6

m=2일 때: a4=−a7+6=−(−6)+6=12

m=1일 때: a1=−a4+3=−12+3=−9

마지막으로 우리가 구해야 하는 ∑k=118ak는 1번째부터 6번째 묶음까지의 합이에요.

step1에서 구한 묶음의 합 공식을 적용해 볼까요?

(홀수 번째 묶음은 −a3m−2, 짝수 번째 묶음은 a3m−2)

총합 = (−a1)+(a4)+(−a7)+(a10)+(−a13)+(a16)

=−(−9)+12−(−6)+15−(−3)+18

=9+12+6+15+3+18=63

정답은 63이 됩니다!

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 3개씩 묶어서 규칙 찾기

a3m=(−1)3m−1a3m−1=(−1)3m−1(−1)3m−2a3m−2=−a3m−2

m번째 묶음의 합 Sm=a3m−2+a3m−1+a3m

--- m이 홀수면 Sm=−a3m−2, 짝수면 Sm=a3m−2

step2. 조건 (나)를 이용해 대표항 점화식 만들기

a3m+3=−a3m−3m

−a3m+1=a3m−2−3m⟹a3m+1=−a3m−2+3m

step3. a19의 값 구하기

a20=−a19,a21=a20=−a19

a20+a21=−2a19=0⟹a19=0

step4. 역추적 및 최종 합 계산하기

a3m−2=−a3m+1+3m

a16=18

a13=−18+15=−3

a10=3+12=15

a7=−15+9=−6

a4=6+6=12

a1=−12+3=−9

∑k=118ak=−a1+a4−a7+a10−a13+a16

=9+12+6+15+3+18=63

∴63

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

n이 3의 배수가 아닌 경우의 규칙을 하나씩 나열하다가 전체적인 패턴(3개씩 묶이는 구조)을 발견하지 못하고 계산에 매몰될 수 있습니다.
조건 (나)의 an+3=−an−n을 어떻게 활용해야 할지 막막할 수 있습니다. 특히 a3m과 a3m−2의 관계를 연결하지 못하면 역추적이 불가능합니다.

🔑 돌파구

수열의 항을 3개씩 한 묶음(블록)으로 생각하여, 각 묶음의 첫 번째 항(a3m−2)을 기준으로 나머지 두 항과 묶음의 합을 표현해 보세요.
조건 (가)에서 얻은 a3m=−a3m−2라는 결론을 조건 (나)에 대입하여, 각 묶음의 첫 번째 항들 사이의 점화식을 새롭게 만들어 보세요.
복잡한 조건이 교차할 때는 일정한 주기로 묶어서 대표항들 사이의 관계식으로 단순화하는 것이 핵심입니다!

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