수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $\frac{S_4}{S_2}$ 간단히 하기

등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 할게요. 문제에서 $r>1$이라고 했으므로 $r\ne 1$입니다.

등비수열의 합 공식 $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$을 이용하면,

$S_4=\frac{a(r^4-1)}{r-1}$

$S_2=\frac{a(r^2-1)}{r-1}$

이제 $\frac{S_4}{S_2}$를 계산해 봅시다.

$\frac{S_4}{S_2}=\frac{\frac{a(r^4-1)}{r-1}}{\frac{a(r^2-1)}{r-1}}=\frac{r^4-1}{r^2-1}$

여기서 분자 $r^4-1$은 합차 공식을 이용해 $(r^2-1)(r^2+1)$로 인수분해할 수 있어요.

$\frac{r^4-1}{r^2-1}=\frac{(r^2-1)(r^2+1)}{r^2-1}=r^2+1$

이렇게 아주 간단한 식이 됩니다.

step2. $\frac{6a_3}{a_5}$ 간단히 하기

이번에는 우변을 정리해 볼게요.

등비수열의 일반항 $a_n=a{r}^{n-1}$을 이용하면,

$a_3=a{r}^2$

$a_5=a{r}^4$

따라서 $\frac{6a_3}{a_5}=\frac{6a{r}^2}{a{r}^4}$ 입니다.

분모와 분자에서 $a$와 $r^2$을 약분하면,

$\frac{6a{r}^2}{a{r}^4}=\frac{6}{r^2}$ 이 됩니다.

step3. 공비 $r$ 구하기

이제 step1과 step2에서 구한 두 식을 같다고 놓아봅시다.

$r^2+1=\frac{6}{r^2}$

양변에 $r^2$을 곱해서 분수를 없애주면,

$r^4+r^2=6$

$r^4+r^2-6=0$

이 식은 $r$에 대한 4차 방정식이지만, $r^2$을 하나의 문자 $X$로 생각하면 $X^2+X-6=0$이라는 2차 방정식으로 쉽게 풀 수 있어요.

인수분해하면 $(r^2+3)(r^2-2)=0$ 이 됩니다.

$r^2=-3$ 또는 $r^2=2$ 인데, 실수 $r$에 대하여 $r^2$은 항상 0보다 크거나 같으므로 $r^2=2$ 입니다.

(문제에서 $r>1$이라고 했으므로 $r=\sqrt{2}$가 맞습니다.)

step4. $a_7$의 값 계산하기

마지막으로 우리가 구해야 할 $a_7$을 계산해 봅시다.

$a_7=a{r}^6$ 입니다.

문제에서 첫째항 $a=3$이라고 주어졌고, 방금 $r^2=2$라는 것을 구했죠.

$r^6=(r^2{)}^3=2^3=8$ 이므로,

$a_7=3\times 8=24$ 가 됩니다.

step1. $\frac{S_4}{S_2}$ 간단히 하기

$\frac{S_4}{S_2}=\frac{r^4-1}{r^2-1}=r^2+1$

step2. $\frac{6a_3}{a_5}$ 간단히 하기

$\frac{6a_3}{a_5}=\frac{6a{r}^2}{a{r}^4}=\frac{6}{r^2}$

step3. 공비 $r$ 구하기

$r^2+1=\frac{6}{r^2}$

$r^4+r^2-6=0$

$(r^2+3)(r^2-2)=0$

--- $r^2>0$이므로

$r^2=2$

step4. $a_7$의 값 계산하기

$a_7=a{r}^6=3·(r^2{)}^3=3·8=24$

$\therefore 24$