2023년 9월 학력평가 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 지수법칙을 이용해 식을 정리한 후, 공통부분을 치환하여 이차방정식으로 푸는 방법으로 해결합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 지수법칙을 이용하여 주어진 방정식을 $3^{x}$ 에 대한 식으로 정리합니다.

step2. $3^{x} = t$ 로 치환하여 $t$ 에 대한 이차방정식을 풉니다.

step3. 구한 $t$ 의 값을 이용해 원래의 근 $x$ ( $α, β$ )를 구하고, 최종적으로 $α^{2} + β^{2}$ 을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙 : $a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ , $(a^{x})^{y} = a^{x y} = (a^{y})^{x}$ (단, $a > 0$ )

- 치환을 이용한 방정식 풀이 : 복잡한 식에서 공통부분이 반복될 때, 그 부분을 하나의 문자로 바꾸어(치환하여) 간단한 방정식으로 만들어 푸는 방법입니다.

5. 구체적 풀이

지수에 미지수

x

가 포함된 방정식은 밑을 같게 맞추고 공통부분을 치환하는 것이 기본 접근법입니다.

9^{x}

는

(3^{x})^{2}

으로,

3^{x + 1}

은

3 \times 3^{x}

로 바꿀 수 있다는 점을 먼저 떠올려보세요.

step1. 방정식 정리하기

주어진 방정식 $9^{x} - 10 \times 3^{x + 1} + 81 = 0$ 에서 밑을 3으로 통일해 볼게요.

먼저 $9^{x}$ 는 $(3^{2})^{x}$ 이므로 지수법칙에 의해 $(3^{x})^{2}$ 으로 쓸 수 있어요.

그리고 $3^{x + 1}$ 은 $3^{x} \times 3^{1}$ , 즉 $3 \times 3^{x}$ 로 분리할 수 있습니다.

지수법칙을 활용하여 모든 항을 $3^{x}$ 를 포함하는 형태로 변형하는 것이 이 문제의 출발점입니다.

이제 변형한 식을 원래 방정식에 대입하면,

$(3^{x})^{2} - 10 \times (3 \times 3^{x}) + 81 = 0$ 이 됩니다.

가운데 항을 계산하여 정리하면,

$(3^{x})^{2} - 30 \times 3^{x} + 81 = 0$ 이 됩니다.

step2. 치환하여 이차방정식 풀기

식이 한결 간단해졌죠? 이제 반복되는 $3^{x}$ 를 새로운 문자 $t$ 로 치환해 보겠습니다.

$3^{x} = t$ 로 두면, 지수함수의 성질에 의해 $t > 0$ 이라는 조건이 붙습니다.

방정식을 $t$ 에 대해 다시 쓰면,

$t^{2} - 30 t + 81 = 0$ 이 됩니다.

이 이차방정식을 인수분해해 볼까요? 곱해서 81, 더해서 -30이 되는 두 수는 -3과 -27입니다.

따라서 $(t - 3) (t - 27) = 0$ 으로 인수분해됩니다.

이를 만족하는 $t$ 의 값은 $t = 3$ 또는 $t = 27$ 입니다. 두 값 모두 $t > 0$ 조건을 만족하네요.

step3. 원래 근 구하기 및 최종 계산

여기서 구한 3과 27을 바로 $α, β$ 로 착각하면 안 됩니다. 우리가 구한 것은 $t$ 의 값이지 $x$ 의 값이 아니니까요.

원래 변수인 $x$ 를 구하기 위해 다시 $3^{x} = t$ 에 대입해 줍니다.

첫 번째로 $t = 3$ 일 때, $3^{x} = 3$ 이므로 $x = 1$ 입니다.

두 번째로 $t = 27$ 일 때, $3^{x} = 27$ 이고 $27 = 3^{3}$ 이므로 $x = 3$ 입니다.

따라서 주어진 방정식의 두 실근은 $1$ 과 $3$ 입니다.

문제에서 두 실근을 $α, β$ 라 했으므로, $α = 1, β = 3$ (또는 그 반대)이 됩니다.

마지막으로 구하고자 하는 $α^{2} + β^{2}$ 의 값을 계산하면,

$1^{2} + 3^{2} = 1 + 9 = 10$ 이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 정리하기

$9^{x} - 10 \times 3^{x + 1} + 81 = 0$

$(3^{x})^{2} - 10 \times 3 \times 3^{x} + 81 = 0$

$(3^{x})^{2} - 30 \times 3^{x} + 81 = 0$

step2. 치환하여 이차방정식 풀기

--- $3^{x} = t (t > 0)$ 로 치환하면

$t^{2} - 30 t + 81 = 0$

$(t - 3) (t - 27) = 0$

$t = 3$ 또는 $t = 27$

step3. 원래 근 구하기 및 최종 계산

--- $t$ 를 다시 $3^{x}$ 로 되돌리면

$3^{x} = 3 ⟹ x = 1$

$3^{x} = 27 ⟹ x = 3$

$α, β$ 는 $1, 3$ 이므로

$α^{2} + β^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$

$∴ 10$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$3^{x + 1}$ 을 $3 \times 3^{x}$ 로 분리하지 못해 치환할 공통 형태를 찾지 못할 수 있습니다.
치환하여 얻은 이차방정식의 근 $t$ 를 구한 후, 그것을 최종 정답인 $x$ 의 값으로 착각하여 $α, β$ 에 대입하는 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

지수법칙 $a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ 를 이용하여 식을 $3^{x}$ 에 대한 형태로 정리하고 치환합니다.
치환한 문자 $t$ 의 값을 구한 뒤에는 반드시 $3^{x} = t$ 에 대입하여 원래 변수인 $x$ 의 값을 구해야 합니다.
(팁: 치환을 할 때는 항상 원래의 문자로 되돌려 놓는 과정을 잊지 마세요.)

2023년 9월 학력평가 고2 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 지수방정식 / 치환
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구