수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 9월 학력평가 고2 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 함수의 극한
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

{lim}_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x^{3} + 1)}{x - 2}

의 값은? [2점]
① 9 ② 10 ③ 11 ④ 12 ⑤ 13

1. 문제의 요지

이 문제는 함수의 극한에서 분모와 분자의 공통인수를 약분하여 극한값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

{lim}_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x^{3} + 1)}{x - 2}

3. 풀이의 순서

이 문제는 분모를 0으로 만드는 인수를 약분하여 극한값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 극한의 의미를 이용하여 공통인수를 약분합니다.

step2. 약분된 식에 $x = 2$ 를 대입하여 극한값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 극한의 성질 : ${lim}_{x \to a} f (x)$ 에서 $x \to a$ 는 $x \neq a$ 이면서 $a$ 에 한없이 가까워짐을 의미하므로, $x - a \neq 0$ 입니다. 따라서 분모와 분자를 $x - a$ 로 나눌 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

분모에

x = 2

를 대입하면 0이 되네? 하지만 분자에도

(x - 2)

가 있으니 약분하면 되겠구나!

step1. 공통인수 약분하기

극한 기호 ${lim}_{x \to 2}$ 는 $x$ 가 2에 한없이 가까워지지만, 실제로는 2가 아니라는 뜻이에요. 즉, $x - 2 \neq 0$ 이므로 분모와 분자에 있는 $(x - 2)$ 를 약분할 수 있어요. 분모를 0으로 만드는 인수를 찾아 약분하는 것이 $\frac{0}{0}$ 꼴 극한 계산의 기본입니다. 식을 정리하면 ${lim}_{x \to 2} (x^{3} + 1)$ 이 됩니다.

step2. 극한값 계산하기

이제 분모가 0이 되는 문제가 해결되었어요. 남은 식 $x^{3} + 1$ 은 다항함수이므로, $x = 2$ 를 그대로 대입해서 극한값을 구할 수 있습니다. $x$ 에 2를 대입할 때 세제곱 계산을 실수하지 않도록 조심하세요. $2^{3} + 1 = 8 + 1 = 9$ 가 됩니다. 따라서 구하는 극한값은 9입니다.