2023년 9월 학력평가 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

19. 수열

{a_{n}}

이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 네 수

a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}

은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다.
(나) 8 이하의 모든 자연수

n

에 대하여

a_{n} \times a_{9 - n} = 75

이다.

a_{1} + a_{2} = \frac{10}{3}, \sum_{k = 1}^{8} a_{k} = \frac{400}{3}

일 때,

a_{3} + a_{8}

의 값은? [4점]
①

\frac{110}{3}

② 40 ③

\frac{130}{3}

④

\frac{140}{3}

⑤ 50

이 문제는 수열의 항들 사이의 곱셈 관계를 이용하여 짝수 번째 항들의 규칙성을 파악하고, 수열의 합 조건을 통해 미지수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- 네 수

a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}

은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다.
- 8 이하의 모든 자연수

n

에 대하여

a_{n} \times a_{9 - n} = 75

이다.
-

a_{1} + a_{2} = \frac{10}{3}

\sum_{k = 1}^{8} a_{k} = \frac{400}{3}

이 문제는 홀수 번째 항과 짝수 번째 항의 규칙성을 각각 파악하여 연립방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 조건 (가)와 (나)를 이용하여 짝수 번째 항들의 규칙을 찾습니다.

step2. 수열의 합 조건을 이용하여 공비 $r$ 을 구합니다.

step3. $a_{1}$ 과 $a_{2}$ 의 값을 구합니다.

step4. $a_{3}$ 과 $a_{8}$ 의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

- 등비수열의 일반항 : 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비수열의 제 $n$ 항은 $a_{n} = a r^{n - 1}$ 입니다.

- 이차방정식의 작성 : 두 수 $α, β$ 를 근으로 하고 $x^{2}$ 의 계수가 1인 이차방정식은 $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ 입니다.

이 문제를 처음 보면

a_{n} a_{9 - n} = 75

라는 조건이 눈에 띕니다. 이 식에

n = 1, 2, 3, 4

를 넣어보면

a_{1} a_{8} = a_{2} a_{7} = a_{3} a_{6} = a_{4} a_{5} = 75

가 성립한다는 것을 알 수 있어요. 홀수 번째 항들이 등비수열을 이룬다는 조건과 이 곱셈 조건을 연결하면, 짝수 번째 항들도 어떤 규칙을 가질지 파악하는 것이 이 문제의 핵심 해결책입니다.

step1. 짝수 번째 항들의 규칙 찾기

조건 (가)에 의해 $a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}$ 은 공비가 $r$ ( $r > 0$ )인 등비수열을 이룹니다.

따라서 $a_{3} = a_{1} r$ , $a_{5} = a_{1} r^{2}$ , $a_{7} = a_{1} r^{3}$ 으로 나타낼 수 있어요.

조건 (나) $a_{n} a_{9 - n} = 75$ 에 $n = 1, 3, 5, 7$ 을 대입해 볼까요?

$a_{1} a_{8} = 75 ⟹ a_{8} = \frac{75}{a_{1}}$

$a_{3} a_{6} = 75 ⟹ a_{6} = \frac{75}{a_{3}} = \frac{75}{a_{1} r} = \frac{1}{r} a_{8}$

$a_{5} a_{4} = 75 ⟹ a_{4} = \frac{75}{a_{5}} = \frac{75}{a_{1} r^{2}} = \frac{1}{r^{2}} a_{8}$

$a_{7} a_{2} = 75 ⟹ a_{2} = \frac{75}{a_{7}} = \frac{75}{a_{1} r^{3}} = \frac{1}{r^{3}} a_{8}$

이 결과를 순서대로 다시 적어보면 $a_{4} = a_{2} r$ , $a_{6} = a_{2} r^{2}$ , $a_{8} = a_{2} r^{3}$ 이 됩니다. 즉, 짝수 번째 항인 $a_{2}, a_{4}, a_{6}, a_{8}$ 도 공비가 $r$ 인 등비수열을 이룬다는 것을 알 수 있습니다.

step2. 공비 $r$ 구하기

이제 $\sum_{k = 1}^{8} a_{k} = \frac{400}{3}$ 조건을 활용해 봅시다.

8개의 항을 홀수 번째 항과 짝수 번째 항으로 나누어 더해볼게요.

$\sum_{k = 1}^{8} a_{k} = (a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}) + (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8})$

$= a_{1} (1 + r + r^{2} + r^{3}) + a_{2} (1 + r + r^{2} + r^{3})$

$= (a_{1} + a_{2}) (1 + r + r^{2} + r^{3})$

여기서 $a_{1}$ 부터 $a_{8}$ 까지 전체가 하나의 등비수열이라고 착각하여 등비수열의 합 공식을 바로 쓰면 안 됩니다. 홀수 번째와 짝수 번째를 따로 묶어내는 것이 중요해요.

문제에서 $a_{1} + a_{2} = \frac{10}{3}$ 이라고 주어졌으므로 대입하면,

$\frac{10}{3} (1 + r + r^{2} + r^{3}) = \frac{400}{3}$

$1 + r + r^{2} + r^{3} = 40$

$r^{3} + r^{2} + r - 39 = 0$

이 삼차방정식을 풀기 위해 $r = 3$ 을 대입해보면 $27 + 9 + 3 - 39 = 0$ 이 성립합니다.

조립제법을 이용해 인수분해하면 $(r - 3) (r^{2} + 4 r + 13) = 0$ 이 됩니다.

$r$ 은 양수이므로 $r = 3$ 입니다.

step3. $a_{1}$ 과 $a_{2}$ 의 값 구하기

$r = 3$ 을 구했으니, 이제 $a_{1}$ 과 $a_{2}$ 를 찾아봅시다.

step1에서 $a_{8} = a_{2} r^{3}$ 이었으므로, $a_{8} = 27 a_{2}$ 입니다.

조건 (나)에서 $a_{1} a_{8} = 75$ 이므로, $a_{1} (27 a_{2}) = 75$ 가 됩니다.

따라서 $a_{1} a_{2} = \frac{75}{27} = \frac{25}{9}$ 입니다.

우리는 $a_{1} + a_{2} = \frac{10}{3}$ 과 $a_{1} a_{2} = \frac{25}{9}$ 를 알고 있습니다.

이 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 세우면 $x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{25}{9} = 0$ 이 됩니다.

양변에 9를 곱하면 $9 x^{2} - 30 x + 25 = 0$ 이고, 완전제곱식으로 인수분해하면 $(3 x - 5)^{2} = 0$ 입니다.

따라서 중근 $x = \frac{5}{3}$ 을 가지므로, $a_{1} = \frac{5}{3}$ , $a_{2} = \frac{5}{3}$ 입니다.

step4. $a_{3}$ 과 $a_{8}$ 의 값 계산하기

이제 구하고자 하는 $a_{3} + a_{8}$ 의 값을 계산할 차례입니다.

$a_{3} = a_{1} r = \frac{5}{3} \times 3 = 5$

$a_{8} = a_{2} r^{3} = \frac{5}{3} \times 27 = 45$

따라서 $a_{3} + a_{8} = 5 + 45 = 50$ 입니다.

step1. 짝수 번째 항들의 규칙 찾기

$a_{3} = a_{1} r, a_{5} = a_{1} r^{2}, a_{7} = a_{1} r^{3}$

$a_{1} a_{8} = 75 ⟹ a_{8} = \frac{75}{a_{1}}$

$a_{3} a_{6} = 75 ⟹ a_{6} = \frac{75}{a_{1} r} = \frac{1}{r} a_{8}$

$a_{5} a_{4} = 75 ⟹ a_{4} = \frac{75}{a_{1} r^{2}} = \frac{1}{r^{2}} a_{8}$

$a_{7} a_{2} = 75 ⟹ a_{2} = \frac{75}{a_{1} r^{3}} = \frac{1}{r^{3}} a_{8}$

--- $a_{2}, a_{4}, a_{6}, a_{8}$ 도 공비가 $r$ 인 등비수열을 이룸

step2. 공비 $r$ 구하기

$\sum_{k = 1}^{8} a_{k} = (a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}) + (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8})$

$= a_{1} (1 + r + r^{2} + r^{3}) + a_{2} (1 + r + r^{2} + r^{3})$

$= (a_{1} + a_{2}) (1 + r + r^{2} + r^{3}) = \frac{400}{3}$

$\frac{10}{3} (1 + r + r^{2} + r^{3}) = \frac{400}{3}$

$r^{3} + r^{2} + r - 39 = 0$

$(r - 3) (r^{2} + 4 r + 13) = 0 ⟹ r = 3$ --- $∵ r > 0$

step3. $a_{1}$ 과 $a_{2}$ 의 값 구하기

$a_{8} = a_{2} r^{3} = 27 a_{2}$

$a_{1} a_{8} = 75 ⟹ 27 a_{1} a_{2} = 75 ⟹ a_{1} a_{2} = \frac{25}{9}$

$a_{1} + a_{2} = \frac{10}{3}$ 이므로 $a_{1}, a_{2}$ 는 $x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{25}{9} = 0$ 의 두 근

$(x - \frac{5}{3})^{2} = 0 ⟹ a_{1} = a_{2} = \frac{5}{3}$

step4. $a_{3}$ 과 $a_{8}$ 의 값 계산하기

$a_{3} = a_{1} r = 5$

$a_{8} = a_{2} r^{3} = 45$

$∴ 50$

🔒 막힌 이유

조건 (나)의 $a_{n} a_{9 - n} = 75$ 를 어떻게 활용할지 몰라 시작부터 막힐 수 있습니다.
8개의 항의 합을 구할 때, 전체가 하나의 등비수열이 아님에도 불구하고 등비수열의 합 공식을 무리하게 적용하려고 하여 오류가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$a_{n} a_{9 - n} = 75$ 에 $n = 1, 3, 5, 7$ 을 대입하여 짝수 번째 항들을 홀수 번째 항으로 표현해 보세요. 홀수 번째 항이 등비수열이므로 짝수 번째 항도 등비수열이 됨을 발견할 수 있습니다.
8개의 항의 합을 홀수 번째 항 4개와 짝수 번째 항 4개의 합으로 나누어 적어보세요. 공통인수로 묶어내면 주어진 $a_{1} + a_{2}$ 의 값을 활용할 수 있습니다.
(팁: 수열의 규칙이 징검다리처럼 주어질 때는 홀수 번째와 짝수 번째를 분리해서 관찰하는 것이 좋습니다.)

2023년 9월 학력평가 고2 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 수열 / 등비수열 / 수열의 합
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구