2023년 9월 학력평가 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

시그마 기호가 포함된 복잡한 식을 보면 당황할 수 있지만, 시그마 안의 식을 먼저 전개해보는 것이 핵심이에요. 전개한 후에는

\sum a_{k}^{2}

와

\sum a_{k}

를 각각 하나의 덩어리(문자)로 생각하면, 우리가 중학교 때 배웠던 간단한 연립방정식 문제가 됩니다.

step1. 첫 번째 시그마 식 전개 및 정리

먼저 첫 번째 조건인 $\sum_{k = 1}^{5} (2 a_{k} - 1)^{2} = 61$ 의 괄호 안을 전개해 볼게요.

$(2 a_{k} - 1)^{2} = 4 a_{k}^{2} - 4 a_{k} + 1$ 이 되죠.

이것을 시그마에 넣고 시그마의 성질을 이용해 분리하면,

$4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} + \sum_{k = 1}^{5} 1 = 61$ 이 됩니다.

여기서 $\sum_{k = 1}^{5} 1$ 을 그냥 1이라고 착각하기 쉬워요. 1을 5번 더하는 것이므로 $1 \times 5 = 5$ 가 됩니다.

따라서 식은 $4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} + 5 = 61$ 이 되고, 5를 우변으로 넘기면

$4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 56$ 이 됩니다.

양변을 4로 나누어 간단히 하면,

$\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 14$ 라는 첫 번째 식을 얻을 수 있어요.

step2. 두 번째 시그마 식 전개 및 정리

이번에는 두 번째 조건인 $\sum_{k = 1}^{5} a_{k} (a_{k} - 4) = 11$ 을 전개해 볼까요?

괄호 안을 전개하면 $a_{k}^{2} - 4 a_{k}$ 가 됩니다.

마찬가지로 시그마의 성질을 이용해 분리하면,

$\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 11$ 이라는 두 번째 식을 얻게 됩니다.

step3. 연립방정식 풀이

이제 우리가 얻은 두 식을 연립해서 풀어볼 거예요.

$\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2}$ 를 $X$ 로, $\sum_{k = 1}^{5} a_{k}$ 를 $Y$ 로 치환하면 식이 훨씬 간단해 보입니다.

step1에서 얻은 식: $X - Y = 14$

step2에서 얻은 식: $X - 4 Y = 11$

우리가 구하고 싶은 것은 $\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2}$ , 즉 $X$ 의 값이에요.

첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼볼까요?

$(X - Y) - (X - 4 Y) = 14 - 11$

$3 Y = 3$ 이 되므로, $Y = 1$ 입니다.

이제 $Y = 1$ 을 첫 번째 식 $X - Y = 14$ 에 대입하면,

$X - 1 = 14$ 이므로 $X = 15$ 가 됩니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 $\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2}$ 의 값은 15입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 시그마 식 전개 및 정리

$\sum_{k = 1}^{5} (4 a_{k}^{2} - 4 a_{k} + 1) = 61$

$4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} + 5 = 61$ --- $\sum_{k = 1}^{5} 1 = 5$ 이므로

$4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 56$

$\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 14$ $\dots$ ①

step2. 두 번째 시그마 식 전개 및 정리

$\sum_{k = 1}^{5} (a_{k}^{2} - 4 a_{k}) = 11$

$\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 11$ $\dots$ ②

step3. 연립방정식 풀이

① - ② 를 하면:

$3 \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 3 ⟹ \sum_{k = 1}^{5} a_{k} = 1$

이를 ①에 대입하면:

$\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} - 1 = 14$

∴ $\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2} = 15$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

시그마 기호 안의 식을 전개하지 않고 그대로 처리하려고 하거나, $\sum_{k = 1}^{5} 1$ 을 1로 잘못 계산하여 식을 세우는 데 오류가 발생할 수 있습니다.
두 개의 시그마 식을 연립방정식으로 바라보지 못해 $\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2}$ 의 값을 구하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

시그마 기호 안의 다항식을 전개한 후, 시그마의 덧셈/뺄셈/실수배 성질을 이용하여 식을 분리하세요.
$\sum_{k = 1}^{5} a_{k}^{2}$ 와 $\sum_{k = 1}^{5} a_{k}$ 를 각각 하나의 문자(예: $X, Y$ )로 치환하여 연립방정식을 세우면 쉽게 풀립니다.
(팁: 시그마 안의 상수는 항의 개수만큼 곱해진다는 점을 잊지 마세요!)

2023년 9월 학력평가 고2 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 수열 / 시그마의 성질
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구