2023년 9월 학력평가 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

30. 두 양수

a, b (a < b)

에 대하여 함수

f (x)

는

f (x) = {\begin{matrix} | - a x^{2} + b | & (x \leq 0) \\ x^{2} - 2 a x + b^{2} & (x > 0) \end{matrix}

이다. 양의 실수

t

에 대하여 직선

y = t

가 함수

y = f (x)

의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를

g (t)

라 하자. 함수

g (t)

는 최솟값 2를 갖고, 두 상수

α, β

에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가)

| {lim}_{t \to α^{-}} g (t) - {lim}_{t \to α^{+}} g (t) | = 2

(나)

{lim}_{t \to β^{-}} g (t) - {lim}_{t \to β^{+}} g (t) + 1 = g (β)

(다)

g (α) \neq g (β)

f (\frac{1}{2}) = α, α + 24 β = 30

일 때,

f (- 2) + f (1) = \frac{q}{p}

이다.

p + q

의 값을 구하시오. (단,

p

와

q

는 서로소인 자연수이다.)

이 문제는 주어진 함수의 그래프를 그리고, 상수 함수와의 교점의 개수로 정의된 새로운 함수 $g (t)$ 의 극한과 연속성 조건을 분석하여 미지수를 구하는 문제입니다.

a, b > 0, a < b

f (x) = {\begin{matrix} | - a x^{2} + b | & (x \leq 0) \\ x^{2} - 2 a x + b^{2} & (x > 0) \end{matrix}

t > 0

인 실수

t

에 대하여 직선

y = t

와

y = f (x)

의 서로 다른 교점의 개수를

g (t)

라 함
-

g (t)

의 최솟값은 2
- (가)

| {lim}_{t \to α^{-}} g (t) - {lim}_{t \to α^{+}} g (t) | = 2

- (나)

{lim}_{t \to β^{-}} g (t) - {lim}_{t \to β^{+}} g (t) + 1 = g (β)

- (다)

g (α) \neq g (β)

f (\frac{1}{2}) = α

α + 24 β = 30

이 문제는 함수 $f (x)$ 의 그래프 개형을 추론하고, 교점의 개수 함수 $g (t)$ 의 불연속점을 분석하여 미지수를 역추적하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $f (x)$ 의 그래프를 그리고 $g (t)$ 의 최솟값 조건을 이용해 극값들의 대소 관계를 파악합니다.

step2. $b$ 의 값에 따라 경우를 나누어 $g (t)$ 의 불연속점과 극한값을 분석합니다.

step3. 조건 (가), (나), (다)를 만족하는 $α, β$ 를 찾고 $b$ 의 범위를 확정합니다.

step4. 남은 조건식을 계산하여 $a, b$ 의 값을 구합니다.

step5. 완성된 함수 $f (x)$ 에 값을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

- 함수의 극한 (좌극한과 우극한) : $t$ 가 특정 값으로 한없이 가까워질 때, 그 값보다 작으면서 가까워지는 경우(좌극한)와 크면서 가까워지는 경우(우극한)의 목표값을 의미합니다.

- 새롭게 정의된 함수 (교점의 개수) : 상수 함수 $y = t$ 를 위아래로 움직이면서 원래 함수의 그래프와 만나는 점의 개수를 세어 새로운 함수 $g (t)$ 를 만듭니다. 주로 극대/극소, 점근선에서 불연속이 발생합니다.

g (t)

는

y = f (x)

와

y = t

의 교점 개수예요. 교점 개수가 변하는 순간은 그래프의 극점이나 경계점(여기서는

y = b^{2} - a^{2}, b, b^{2}

)을 지날 때 발생하죠. 따라서

f (x)

의 그래프를 먼저 완벽하게 그려놓고,

t

를 아래에서 위로 올려가며

g (t)

의 변화를 관찰하는 것이 첫걸음입니다!

step1. $f (x)$ 그래프 개형과 $g (t)$ 최솟값 조건

먼저 $f (x)$ 의 그래프를 그려볼게요.

$x \leq 0$ 일 때, $y = - a x^{2} + b$ 는 꼭짓점이 $(0, b)$ 이고 위로 볼록한 이차함수예요. 여기에 절댓값을 씌웠으니, $x$ 축 아래로 내려간 부분이 꺾여 올라가서 무한대로 뻗어나가는 모양이 됩니다.

$x > 0$ 일 때, $y = x^{2} - 2 a x + b^{2} = (x - a)^{2} + b^{2} - a^{2}$ 이므로 꼭짓점이 $(a, b^{2} - a^{2})$ 이고 아래로 볼록한 이차함수예요. $x = 0$ 일 때의 극한값은 $b^{2}$ 이죠.

이제 $y = t$ 를 그어 교점 개수 $g (t)$ 를 관찰해봅시다. $g (t)$ 의 최솟값이 2라고 했어요.

만약 $b \leq b^{2} - a^{2}$ 라면 어떻게 될까요?

$t$ 가 $b$ 보다 살짝 크고 $b^{2} - a^{2}$ 보다 작을 때, 왼쪽 그래프와는 1점에서 만나고 오른쪽 그래프와는 만나지 않아서 $g (t) = 1$ 이 되어버려요. 이는 최솟값이 2라는 조건에 모순이죠!

따라서 반드시 $b > b^{2} - a^{2}$ 이어야 한다는 중요한 사실을 알 수 있습니다.

step2. $b$ 의 범위에 따른 $g (t)$ 분석

이제 교점 개수가 변하는 경계값은 $b^{2} - a^{2}, b, b^{2}$ 세 가지입니다. 그런데 $b$ 와 $b^{2}$ 중 누가 더 큰지 모르기 때문에 경우를 나누어야 해요.

Case 1) $b > 1$ (즉, $b^{2} - a^{2} < b < b^{2}$ )

- $t = b^{2} - a^{2}$ 일 때: 왼쪽 2개, 오른쪽 1개 $\to g (t) = 3$

- $t = b$ 일 때: 왼쪽 2개, 오른쪽 2개 $\to g (t) = 4$

- $t = b^{2}$ 일 때: 왼쪽 1개, 오른쪽 1개( $x = 2 a$ 에서 만남) $\to g (t) = 2$

이 경계값들을 기준으로 좌우 극한을 살펴보면, $t = b^{2} - a^{2}$ 에서 $2 \to 4$ 로 변하고, $t = b^{2}$ 에서 $3 \to 2$ 로 변합니다.

Case 2) $b < 1$ (즉, $b^{2} - a^{2} < b^{2} < b$ )

- $t = b^{2} - a^{2}$ 일 때: $g (t) = 3$

- $t = b^{2}$ 일 때: $g (t) = 3$

- $t = b$ 일 때: $g (t) = 3$

Case 3) $b = 1$ (즉, $b^{2} - a^{2} < b = b^{2}$ )

- $t = 1 - a^{2}$ 일 때: $g (t) = 3$

- $t = 1$ 일 때: $g (t) = 3$

step3. 조건 (가), (나), (다)를 통한 $α, β$ 특정

조건 (가)는 좌우 극한의 차이가 2가 되는 곳이 $α$ 라는 뜻이에요.

모든 Case에서 $t = b^{2} - a^{2}$ 일 때 교점이 2개에서 4개로 뛰므로 차이가 2가 됩니다. 따라서 $α = b^{2} - a^{2}$ 가 유력해요.

조건 (나)는 ${lim}_{t \to β^{-}} g (t) - {lim}_{t \to β^{+}} g (t) + 1 = g (β)$ 입니다.

각 Case의 불연속점들을 이 식에 대입하여 성립하는지 확인해봅시다.

- Case 1에서 $β = b^{2}$ 를 대입하면: 좌극한(3) - 우극한(2) + 1 = 2. 그리고 $g (b^{2}) = 2$ 이므로 완벽하게 성립합니다!

- Case 2와 3의 불연속점들을 대입해보면 이 식이 성립하지 않거나, 조건 (다)인 $g (α) \neq g (β)$ 에 위배됩니다.

결론적으로 우리는 Case 1 ( $b > 1$ ) 상황임을 확정할 수 있고, $α = b^{2} - a^{2}$ , $β = b^{2}$ 임을 찾아냈습니다.

step4. $a, b$ 값 계산

이제 남은 조건식에 대입하여 $a, b$ 를 계산해볼게요.

첫 번째 조건: $f (\frac{1}{2}) = α$

$\frac{1}{2} > 0$ 이므로 오른쪽 식에 대입합니다.

$(\frac{1}{2})^{2} - 2 a (\frac{1}{2}) + b^{2} = b^{2} - a^{2}$

$\frac{1}{4} - a = - a^{2}$

$a^{2} - a + \frac{1}{4} = 0$

$(a - \frac{1}{2})^{2} = 0 ⟹ a = \frac{1}{2}$

두 번째 조건: $α + 24 β = 30$

$α = b^{2} - a^{2} = b^{2} - \frac{1}{4}$ 이고, $β = b^{2}$ 입니다.

$(b^{2} - \frac{1}{4}) + 24 b^{2} = 30$

$25 b^{2} = 30 + \frac{1}{4} = \frac{121}{4}$

$b^{2} = \frac{121}{100}$

$b > 0$ 이므로 $b = \frac{11}{10}$ 입니다. ( $b > 1$ 조건도 잘 만족하네요!)

step5. 최종 정답 도출

구해낸 $a = \frac{1}{2}, b = \frac{11}{10}$ 을 원래 함수에 대입하여 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.

$f (- 2)$ 는 $x \leq 0$ 구간이므로:

$f (- 2) = | - \frac{1}{2} (- 2)^{2} + \frac{11}{10} | = | - 2 + 1.1 | = | - 0.9 | = \frac{9}{10}$

$f (1)$ 은 $x > 0$ 구간이므로:

$f (1) = 1^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (1) + (\frac{11}{10})^{2} = 1 - 1 + \frac{121}{100} = \frac{121}{100}$

두 값을 더하면:

$f (- 2) + f (1) = \frac{90}{100} + \frac{121}{100} = \frac{211}{100}$

따라서 $p = 100, q = 211$ 이 되고, $p + q = 311$ 입니다.

step1. & 2. 그래프 개형 및 g(t) 분석

$f (x)$ 극값: $y = b$ (왼쪽), $y = b^{2} - a^{2}$ --- 오른쪽

$g (t)$ 최솟값 2 $⟹ b > b^{2} - a^{2}$

$b$ 와 $b^{2}$ 대소 비교:

$b > 1$ 일 때 불연속점 $b^{2} - a^{2}, b, b^{2}$

step3. 조건 가, 나, 다 적용

(가) 점프 2인 곳 $⟹ α = b^{2} - a^{2}$

(나) ${lim}_{t \to β^{-}} g (t) - {lim}_{t \to β^{+}} g (t) + 1 = g (β)$

--- $b > 1$ 일 때 $β = b^{2}$ 대입 시 $3 - 2 + 1 = 2$ 성립

$∴ α = b^{2} - a^{2}, β = b^{2}$

step4. a, b 계산

$f (1 / 2) = α ⟹ (1 / 2)^{2} - 2 a (1 / 2) + b^{2} = b^{2} - a^{2}$

$a^{2} - a + 1 / 4 = 0 ⟹ a = 1 / 2$

$α + 24 β = 30 ⟹ (b^{2} - 1 / 4) + 24 b^{2} = 30$

$25 b^{2} = 121 / 4 ⟹ b^{2} = 121 / 100 ⟹ b = 11 / 10$

step5. 최종 계산

$f (- 2) = | - 1 / 2 (4) + 11 / 10 | = 0.9 = 90 / 100$

$f (1) = 1 - 1 + 121 / 100 = 121 / 100$

$f (- 2) + f (1) = 211 / 100$

$∴ p + q = 311$

🔒 막힌 이유

함수 $g (t)$ 의 최솟값이 2라는 조건을 어떻게 해석해야 할지 몰라 그래프의 극값들( $b$ 와 $b^{2} - a^{2}$ )의 대소 관계를 확정하지 못해 막힐 수 있습니다.
$b$ 와 $b^{2}$ 의 대소 관계에 따라 $g (t)$ 의 불연속점이 달라지는데, 이를 분류하지 않고 하나의 개형만으로 조건 (가), (나)를 풀려고 하면 모순에 빠지기 쉽습니다.

🔑 돌파구

$t$ 가 작을 때 교점의 개수를 확인하여 $b > b^{2} - a^{2}$ 임을 파악하세요. 만약 반대라면 $g (t) = 1$ 인 구간이 생겨 최솟값 조건에 위배됩니다.
$b > 1, b = 1, b < 1$ 세 가지 경우로 나누어 $g (t)$ 의 좌우 극한값의 차이를 직접 조사하세요. 조건 (나)의 식에 각 불연속점의 극한값을 대입해보면 $b > 1$ 인 경우만 성립함을 알 수 있습니다.
(팁: 교점 개수 함수의 최솟값이나 극한 조건은 그래프의 극값, 점근선 등 특이점의 위치를 결정하는 핵심 키입니다.)

2023년 9월 학력평가 고2 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	미적분 · 함수의 극한 / 함수의 연속 / 그래프의 추론 / 새롭게 정의된 함수
난이도	최상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구