2023년 9월 학력평가 수학 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 로그함수의 밑의 크기를 확인하여 함수의 증가/감소 여부를 파악한 후, 양 끝값에서 최대·최소를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 로그함수의 밑을 확인하여 함수의 증가/감소 성질을 파악합니다.

step2. $x$ 의 범위 양 끝값을 대입하여 최댓값 $M$ 과 최솟값 $m$ 을 계산합니다.

step3. 구한 $M$ 과 $m$ 을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그함수의 증가와 감소 : $y = \log_{a} x$ 에서 $a > 1$ 이면 $x$ 가 증가할 때 $y$ 도 증가하는 증가함수이고, $0 < a < 1$ 이면 $x$ 가 증가할 때 $y$ 는 감소하는 감소함수입니다.

- 로그의 성질 : $\log_{a} a^{n} = n$ 입니다. (단, $a > 0, a \neq 1, n$ 은 실수)

5. 구체적 풀이

함수의 최댓값과 최솟값을 구하라는 문제를 보면 가장 먼저 '이 함수가 증가하는지, 감소하는지'를 알아내야 해요. 로그함수에서는 밑이 그 열쇠를 쥐고 있답니다. 밑이 3이니까 1보다 크죠? 아, 그럼 이 함수는

x

가 커질수록

y

도 계속 올라가기만 하는 증가함수구나! 하고 눈치채는 것이 첫걸음이에요.

step1. 함수의 증가/감소 성질 파악하기

주어진 함수 $y = 6 \log_{3} (x + 2)$ 를 살펴볼게요.

이 로그함수의 밑은 $3$ 입니다.

밑이 1보다 크기 때문에( $3 > 1$ ), 이 함수는 $x$ 의 값이 커질수록 전체 함숫값도 커지는 '증가함수'가 됩니다.

따라서 주어진 $x$ 의 범위 $1 \leq x \leq 25$ 에서,

$x$ 가 가장 작은 값일 때 함수도 최솟값을 가지고, $x$ 가 가장 큰 값일 때 함수도 최댓값을 가진다는 것을 알 수 있어요.

step2. 최댓값 M과 최솟값 m 계산하기

이제 양 끝값을 대입해서 직접 값을 구해볼게요.

먼저 최솟값 $m$ 을 구해봅시다.

$x$ 가 가장 작은 값인 $1$ 일 때 최솟값을 가지므로,

$m = 6 \log_{3} (1 + 2) = 6 \log_{3} 3$ 이 됩니다.

$\log_{3} 3 = 1$ 이므로, $m = 6 \times 1 = 6$ 이에요.

다음으로 최댓값 $M$ 을 구해봅시다.

$x$ 가 가장 큰 값인 $25$ 일 때 최댓값을 가지므로,

$M = 6 \log_{3} (25 + 2) = 6 \log_{3} 27$ 이 됩니다.

여기서 $27$ 을 밑인 $3$ 의 거듭제곱으로 바꾸어 계산하는 것을 잊지 마세요.

$27 = 3^{3}$ 이므로, $\log_{3} 27 = \log_{3} (3^{3}) = 3$ 이 됩니다.

따라서 $M = 6 \times 3 = 18$ 이에요.

step3. M + m 계산하기

앞선 단계에서 최댓값 $M = 18$ , 최솟값 $m = 6$ 을 구했어요.

문제에서 요구하는 것은 이 둘의 합이므로,

$M + m = 18 + 6 = 24$ 가 됩니다.

아주 잘 따라오셨어요!

⚡ 실전용 풀이

step1. 함수의 증가/감소 성질 파악하기

$y = 6 \log_{3} (x + 2)$ 에서 밑이 $3 > 1$ 이므로 증가함수

step2. 최댓값 M과 최솟값 m 계산하기

$x = 1$ 일 때 최솟값 $m = 6 \log_{3} (1 + 2) = 6 \log_{3} 3 = 6$

$x = 25$ 일 때 최댓값 $M = 6 \log_{3} (25 + 2) = 6 \log_{3} 27 = 6 \times 3 = 18$

step3. M + m 계산하기

$M + m = 18 + 6 = 24$

$∴ 24$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

로그함수의 밑이 1보다 클 때와 작을 때 그래프의 개형(증가/감소)이 어떻게 달라지는지 헷갈려 최댓값과 최솟값의 위치를 반대로 생각할 수 있습니다.
로그의 진수 부분인 $x + 2$ 에 $x$ 값을 대입한 후, $\log_{3} 3$ 이나 $\log_{3} 27$ 같은 로그값을 정수로 계산하는 과정에서 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

로그함수 $y = \log_{a} x$ 에서 밑 $a$ 가 1보다 크면( $a > 1$ ) $x$ 가 커질 때 $y$ 도 커지는 '증가함수'임을 먼저 떠올려야 합니다.
진수를 밑의 거듭제곱 꼴로 바꾸어 $\log_{a} a^{n} = n$ 의 성질을 이용해 계산을 마무리하세요.
(팁) 로그함수의 최대·최소 문제는 항상 '밑의 크기(1보다 큰지 작은지)'부터 확인하는 습관을 들이세요!

2023년 9월 학력평가 고2 수학 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 로그함수 / 최대최소
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구