2023년 9월 학력평가 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

20. 이차함수

f (x) = (x - k)^{2} (k > 0)

이 있다. 양수

a

에 대하여 함수

g (x) = {\begin{matrix} f (x) & (x \leq 3) \\ k f (x - a) & (x > 3) \end{matrix}

이 다음 조건을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
(가)

{lim}_{x \to 3} g (x)

가 존재한다.
(나) 함수

y = g (x)

의 그래프는

x

축과 오직 한 점에서만 만난다.

<보기>
ㄱ.

f (1) = 1

이면

g (2) = 0

이다.
ㄴ.

g (k + a) < g (3)

ㄷ.

(k - 1) (k - 2) \geq 0

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이 문제는 구간별로 정의된 함수의 극한 존재 조건과 x축과의 교점 개수 조건을 이용하여 미지수의 범위를 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- f(x) = (x-k)² \quad (k>0)
- a > 0
-

g (x) = {\begin{matrix} f (x) & (x \leq 3) \\ k f (x - a) & (x > 3) \end{matrix}

{lim}_{x \to 3} g (x) 가 존재한다.

함수 y = g (x) 의 그래프는 x 축과 오직 한 점에서만 만난다.

이 문제는 조건 (나)를 통해 미지수의 범위를 나누고, 조건 (가)의 극한식을 풀어 정확한 범위를 확정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 조건 (나)를 이용하여 $g (x) = 0$ 의 해를 분석하고 $k$ 와 $a + k$ 의 범위를 설정합니다.

step2. 조건 (가)의 극한 존재 조건을 이용하여 $a$ 와 $k$ 의 관계식을 세웁니다.

step3. step1과 step2를 결합하여 $k$ 의 정확한 범위를 구합니다.

step4. 구해진 $k$ 의 범위와 $a$ 의 식을 바탕으로 <보기>의 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 판별합니다.

- 함수의 극한 존재 조건 : $x \to a$ 일 때 극한값이 존재하려면 좌극한 ${lim}_{x \to a^{-}} f (x)$ 와 우극한 ${lim}_{x \to a^{+}} f (x)$ 가 같아야 합니다.

- 절댓값의 성질 : $X^{2} = Y^{2}$ 이면 $| X | = | Y |$ 가 성립합니다. 제곱근을 벗길 때는 반드시 절댓값을 씌워 부호를 확인해야 합니다.

이 문제는

g (x)

가

x = 3

을 기준으로 두 개의 이차함수 조각으로 나뉘어 있다는 점에 주목해야 해요. 조건 (나)에서

x

축과 한 점에서만 만난다는 것은

g (x) = 0

을 만족하는

x

가 딱 하나라는 뜻이죠. 각 조각이 0이 되는

x

값을 찾고, 그 값이 주어진 구간에 들어가는지 확인하여

k

의 범위를 좁히는 것이 핵심입니다. 그 후 조건 (가)의 극한 조건을 써서

a

와

k

의 관계를 찾으면 문제가 풀립니다.

step1. 조건 (나) 분석하기

$g (x) = 0$ 이 되는 $x$ 를 찾아봅시다.

$x \leq 3$ 일 때, $g (x) = (x - k)^{2} = 0$ 이므로 $x = k$ 입니다.

$x > 3$ 일 때, $g (x) = k (x - a - k)^{2} = 0$ 이므로 $x = a + k$ 입니다.

조건 (나)에 의해 $g (x) = 0$ 인 $x$ 는 오직 하나여야 합니다.

만약 $k \leq 3$ 이라면 $x = k$ 는 $x \leq 3$ 구간에 속하므로 해가 됩니다. 이때 $x = a + k$ 도 $x > 3$ 구간에 속한다면(즉, $a + k > 3$ ) 해가 두 개가 되어 조건에 어긋납니다. 따라서 $a + k \leq 3$ 이어야 합니다.

만약 $k > 3$ 이라면 $x = k$ 는 구간에 속하지 않아 해가 아닙니다. 이때 $x = a + k$ 는 $a > 0$ 이므로 당연히 $a + k > 3$ 이 되어 해가 됩니다.

따라서 해가 1개가 되기 위한 조건은 다음 두 가지 경우로 나뉩니다.

Case 1: $k \leq 3$ 이고 $a + k \leq 3$

Case 2: $k > 3$

step2. 조건 (가) 분석하기

$x = 3$ 에서 극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

좌극한: ${lim}_{x \to 3^{-}} g (x) = (3 - k)^{2}$

우극한: ${lim}_{x \to 3^{+}} g (x) = k (3 - a - k)^{2}$

따라서 $(3 - k)^{2} = k (3 - a - k)^{2}$ 입니다.

여기서 양변에 루트를 씌울 때 절댓값을 빼먹으면 안 됩니다.

$| 3 - k | = \sqrt{k} | 3 - a - k |$ 가 됩니다.

step3. $k$ 의 범위 구하기

이제 step1의 두 가지 경우를 step2의 식에 적용해 봅시다.

[Case 2] $k > 3$ 인 경우:

$3 - k < 0$ 이고, $a + k > 3$ 이므로 $3 - a - k < 0$ 입니다.

따라서 $- (3 - k) = \sqrt{k} \times - (3 - a - k)$ 가 되어 $k - 3 = \sqrt{k} (a + k - 3)$ 입니다.

이를 $a$ 에 대해 정리하면 $a + k - 3 = \frac{k - 3}{\sqrt{k}}$ 이고, $a = (k - 3) (\frac{1}{\sqrt{k}} - 1)$ 입니다.

그런데 $k > 3$ 이면 $\sqrt{k} > \sqrt{3} > 1$ 이므로 $\frac{1}{\sqrt{k}} - 1 < 0$ 이 됩니다.

$k - 3 > 0$ 이므로 $a < 0$ 이 되어 양수 $a$ 라는 조건에 모순입니다. 따라서 Case 2는 불가능합니다.

[Case 1] $k \leq 3$ 이고 $a + k \leq 3$ 인 경우:

$3 - k \geq 0$ 이고, $3 - a - k \geq 0$ 입니다.

따라서 $3 - k = \sqrt{k} (3 - a - k)$ 입니다.

이를 $a$ 에 대해 정리하면 $3 - a - k = \frac{3 - k}{\sqrt{k}}$ 이고, $a = (3 - k) (1 - \frac{1}{\sqrt{k}})$ 입니다.

양수 $a$ 조건에 의해 $a > 0$ 이어야 하므로, $1 - \frac{1}{\sqrt{k}} > 0$ 즉 $\sqrt{k} > 1 ⟹ k > 1$ 입니다.

결론적으로 $k$ 의 범위는 $1 < k < 3$ 이고, $a = (3 - k) (1 - \frac{1}{\sqrt{k}})$ 입니다.

step4. <보기> 판별하기

ㄱ. $f (1) = 1$ 이면 $(1 - k)^{2} = 1$ 이므로 $1 - k = 1$ 또는 $1 - k = - 1$ 입니다.

즉 $k = 0$ 또는 $k = 2$ 인데, $1 < k < 3$ 이므로 $k = 2$ 입니다.

$k = 2$ 일 때 $g (2)$ 를 구하면, $2 \leq 3$ 이므로 $g (2) = f (2) = (2 - 2)^{2} = 0$ 입니다. (참)

ㄴ. $g (k + a)$ 와 $g (3)$ 을 비교해 봅시다.

$k + a = 3 - \frac{3 - k}{\sqrt{k}}$ 인데, $1 < k < 3$ 이므로 $\frac{3 - k}{\sqrt{k}} > 0$ 입니다.

따라서 $k + a < 3$ 입니다.

$g (k + a) = f (k + a) = (k + a - k)^{2} = a^{2}$ 입니다.

$g (3) = f (3) = (3 - k)^{2}$ 입니다.

$a = (3 - k) (1 - \frac{1}{\sqrt{k}})$ 에서 $1 < k < 3$ 이므로 $0 < 1 - \frac{1}{\sqrt{k}} < 1$ 입니다.

따라서 $a < 3 - k$ 이고, 양변을 제곱하면 $a^{2} < (3 - k)^{2}$ 이 되어 $g (k + a) < g (3)$ 이 성립합니다. (참)

ㄷ. $(k - 1) (k - 2) \geq 0$ 인지 확인해 봅시다.

우리가 구한 $k$ 의 범위는 $1 < k < 3$ 입니다.

만약 $k = 1.5$ 라면 $(1.5 - 1) (1.5 - 2) = 0.5 \times (- 0.5) = - 0.25 < 0$ 이 되어 부등식이 성립하지 않습니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 입니다.

step1. 조건 (나) 분석

$g (x) = 0 ⟹ x = k$ 또는 $x = a + k$

조건 (나)에 의해 해가 1개이므로

Case 1: $k \leq 3$ 이고 $a + k \leq 3$ --- 해는 $x = k$

Case 2: $k > 3$ 이고 $a + k > 3$ --- 해는 $x = a + k$

step2. 조건 (가) 분석

${lim}_{x \to 3^{-}} g (x) = {lim}_{x \to 3^{+}} g (x)$

$(3 - k)^{2} = k (3 - a - k)^{2}$

$| 3 - k | = \sqrt{k} | 3 - a - k |$

step3. $k$ 의 범위 구하기

Case 2의 경우: $k > 3, a + k > 3$ 이므로

$- (3 - k) = - \sqrt{k} (3 - a - k) ⟹ k - 3 = \sqrt{k} (a + k - 3)$

$a = (k - 3) (\frac{1}{\sqrt{k}} - 1) < 0$ --- ( $a > 0$ 에 모순)

Case 1의 경우: $k \leq 3, a + k \leq 3$ 이므로

$3 - k = \sqrt{k} (3 - a - k) ⟹ a = (3 - k) (1 - \frac{1}{\sqrt{k}})$

$a > 0$ 이므로 $1 - \frac{1}{\sqrt{k}} > 0 ⟹ k > 1$

$∴ ① < k < 3$

step4. <보기> 판별하기

ㄱ. $f (1) = 1 ⟹ (1 - k)^{2} = 1 ⟹ k = 0, 2$

$1 < k < 3$ 이므로 $k = 2 ⟹ g (2) = f (2) = 0$ --- 참

ㄴ. $k + a = 3 - \frac{3 - k}{\sqrt{k}} < 3$ 이므로

$g (k + a) = f (k + a) = a^{2}$

$a = (3 - k) (1 - \frac{1}{\sqrt{k}}) < 3 - k$ 이므로 $a^{2} < (3 - k)^{2} = g (3)$ --- 참

ㄷ. $1 < k < 3$ 이므로 $k = 1.5$ 일 때 $(1.5 - 1) (1.5 - 2) < 0$ --- 거짓

$∴ ②$

🔒 막힌 이유

조건 (나)에서 $g (x) = 0$ 의 해가 1개라는 것을 수식으로 어떻게 표현해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다. 특히 $x \leq 3$ 과 $x > 3$ 구간 각각에서 해가 나올 수 있는 조건을 나누어 생각하지 못하면 진행이 안 됩니다.
조건 (가)의 극한 식 $(3 - k)^{2} = k (3 - a - k)^{2}$ 에서 양변에 루트를 씌울 때 절댓값을 고려하지 않고 그냥 $3 - k = \sqrt{k} (3 - a - k)$ 로 풀거나, 부호 판별을 잘못하여 $k$ 의 범위를 잘못 구할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$g (x) = 0$ 이 되는 $x$ 값을 각 구간별로 직접 구해보세요. $x = k$ 와 $x = a + k$ 가 각각 어느 구간에 속해야 전체 해가 1개가 되는지 경우를 나누어 따져보면 $k$ 와 $a + k$ 의 대략적인 범위를 잡을 수 있습니다.
$A^{2} = B^{2}$ 꼴의 식은 $| A | = | B |$ 로 바꾸어 풀어야 합니다. 앞서 구한 $k$ 와 $a + k$ 의 범위를 이용하여 절댓값 안의 부호를 정확히 판별한 후 식을 정리하세요.
(구간이 나뉜 함수는 각 구간의 해가 해당 구간에 속하는지 확인하는 것이 필수입니다.)

2023년 9월 학력평가 고2 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 함수의 극한 / 이차함수 / 그래프의 추론
난이도	상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구