수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $\sin x$를 치환하여 이차방정식 풀기

주어진 방정식 $2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$에서 $\sin x$를 $t$로 치환해 볼게요. 그러면 방정식은 $2t^2+3t-2=0$이 됩니다. 이 이차방정식을 인수분해하면 $(2t-1)(t+2)=0$이 되죠. 따라서 $t=\frac{1}{2}$ 또는 $t=-2$가 나옵니다.

step2. 유효한 $\sin x$의 값 찾기

이제 원래대로 $t$ 대신 $\sin x$를 넣어볼까요? $\sin x=\frac{1}{2}$ 또는 $\sin x=-2$가 됩니다. 여기서 $\sin x=-2$도 해가 될 수 있다고 착각하기 쉽다는 점을 조심해야 해요. $\sin x$의 값은 항상 $-1$ 이상 $1$ 이하의 범위($-1\le \sin x\le 1$)를 가지므로, $\sin x=-2$는 해가 될 수 없습니다. 따라서 우리가 풀어야 할 방정식은 $\sin x=\frac{1}{2}$ 하나로 좁혀집니다.

step3. 삼각방정식의 해 구하기 및 합 계산

주어진 범위 $0\le x\le 2\pi$에서 $\sin x=\frac{1}{2}$를 만족하는 $x$의 값을 찾아볼게요. $y=\sin x$의 그래프를 그려보고 $y=\frac{1}{2}$인 가로줄을 그어보면, 교점이 두 개 생기는 것을 알 수 있어요. 제1사분면에서 $\sin x=\frac{1}{2}$인 특수각은 $x=\frac{\pi }{6}$이고, 제2사분면에서는 대칭성에 의해 $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$가 됩니다. 따라서 모든 해는 $\frac{\pi }{6}$와 $\frac{5\pi }{6}$이고, 이 둘의 합은 $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\frac{6\pi }{6}=\pi$가 됩니다. (참고로, 대칭축이 $x=\frac{\pi }{2}$이므로 두 근의 합은 $\frac{\pi }{2}\times 2=\pi$로 바로 구할 수도 있어요.)

step1. $\sin x$ 치환 및 이차방정식 풀이

$2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$

$(2\sin x-1)(\sin x+2)=0$

$\sin x=\frac{1}{2}$ 또는 $\sin x=-2$

step2. 유효한 $\sin x$ 값 찾기

$-1\le \sin x\le 1$   --- 이므로

$\sin x=\frac{1}{2}$

step3. 해 구하기 및 합 계산

$0\le x\le 2\pi$ 에서

$x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

모든 해의 합 = $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi$

$\therefore ③$