수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 첫 번째 로그 방정식을 풀어 $m$ 구하기

주어진 첫 번째 식은 ${\log }_2(m^2+\frac{1}{4})=-1$ 이에요.

로그의 정의 ${\log }_{a}N=x⟺a^x=N$을 이용하면, 진수 부분인 $m^2+\frac{1}{4}$은 밑인 $2$의 $-1$제곱과 같다는 것을 알 수 있어요.

즉, $m^2+\frac{1}{4}=2^{-1}$ 이 됩니다.

$2^{-1}=\frac{1}{2}$ 이므로, 식을 정리하면 $m^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ 이고, $m^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ 이 나와요.

여기서 $m^2=\frac{1}{4}$을 만족하는 $m$은 $\frac{1}{2}$과 $-\frac{1}{2}$ 두 개가 나오지만, 문제에서 '두 양수 $m,n$'이라고 했으므로 $m=\frac{1}{2}$만 선택해야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

step2. 두 번째 로그 방정식에 $m$을 대입하여 $n$ 구하기

이제 구한 $m=\frac{1}{2}$을 두 번째 식 ${\log }_{2}m=5+3{\log }_{2}n$ 에 대입해 볼게요.

${\log }_2\frac{1}{2}=5+3{\log }_{2}n$ 이 되죠.

$\frac{1}{2}=2^{-1}$ 이므로 ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$ 이에요.

따라서 식은 $-1=5+3{\log }_{2}n$ 이 됩니다.

$5$를 좌변으로 넘기면 $-6=3{\log }_{2}n$ 이고, 양변을 $3$으로 나누면 ${\log }_{2}n=-2$ 가 나와요.

다시 한 번 로그의 정의를 사용하면 $n=2^{-2}=\frac{1}{4}$ 이 됩니다. $n$ 역시 양수 조건에 잘 맞네요!

step3. $m+n$의 값 계산하기

마지막으로 우리가 구해야 하는 것은 $m+n$의 값이에요.

앞서 구한 $m=\frac{1}{2}$ 과 $n=\frac{1}{4}$ 을 더해주면 됩니다.

$m+n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

따라서 정답은 $\frac{3}{4}$ 입니다.

step1. 첫 번째 로그 방정식을 풀어 $m$ 구하기

${\log }_2(m^2+\frac{1}{4})=-1$

$m^2+\frac{1}{4}=2^{-1}=\frac{1}{2}$   --- 로그의 정의 이용

$m^2=\frac{1}{4}$

$m=\frac{1}{2}$   --- $m>0$이므로

step2. 두 번째 로그 방정식에 $m$을 대입하여 $n$ 구하기

${\log }_{2}m=5+3{\log }_{2}n$

${\log }_2\frac{1}{2}=5+3{\log }_{2}n$   --- $m=\frac{1}{2}$ 대입

$-1=5+3{\log }_{2}n$

$3{\log }_{2}n=-6$

${\log }_{2}n=-2$

$n=2^{-2}=\frac{1}{4}$

step3. $m+n$의 값 계산하기

$m+n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\therefore ③$