수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 방정식 분리 및 정리하기

먼저 주어진 방정식 $|f(x)|=3$을 풀어볼게요. 절댓값의 성질에 의해 이 식은 두 가지 경우로 나눌 수 있어요.

$f(x)=3$ 또는 $f(x)=-3$

이제 $f(x)=\frac{n}{2}\cos \pi x+1$을 대입해서 $\cos \pi x$에 대해 정리해 봅시다.

첫 번째 경우:

$\frac{n}{2}\cos \pi x+1=3$

$\frac{n}{2}\cos \pi x=2$

$\cos \pi x=\frac{4}{n}$

두 번째 경우:

$\frac{n}{2}\cos \pi x+1=-3$

$\frac{n}{2}\cos \pi x=-4$

$\cos \pi x=-\frac{8}{n}$

결국 우리는 $\cos \pi x=\frac{4}{n}$ 또는 $\cos \pi x=-\frac{8}{n}$을 만족하는 $x$값들의 합을 구하면 됩니다.

step2. 코사인 그래프의 대칭성을 이용한 실근의 합 규칙 찾기

이제 $y=\cos \pi x$의 그래프를 $0\le x\le 4$ 구간에서 생각해 볼게요.

이 함수의 주기는 $\frac{2\pi }{\pi }=2$입니다. 주어진 구간의 길이가 4이므로, 그래프는 정확히 2번의 주기를 반복하게 됩니다.

삼각방정식 $\cos \pi x=k$의 실근의 합은 $k$의 값에 따라 그래프의 대칭성을 이용하여 구합니다.

상수 $k$의 범위에 따라 실근의 합 $S(k)$가 어떻게 되는지 알아볼까요?

1) $-1<k<1$ 인 경우:

직선 $y=k$는 코사인 그래프와 총 4번 만납니다.

첫 번째 주기($0\le x\le 2$)에서 대칭축은 $x=1$이므로 두 근의 합은 $1\times 2=2$입니다.

두 번째 주기($2\le x\le 4$)에서 대칭축은 $x=3$이므로 두 근의 합은 $3\times 2=6$입니다.

따라서 네 근의 총합은 $S(k)=2+6=8$이 됩니다.

2) $k=1$ 인 경우:

그래프의 최댓값과 만나는 점이므로 $x=0,2,4$에서 만납니다.

따라서 $S(1)=0+2+4=6$입니다.

3) $k=-1$ 인 경우:

그래프의 최솟값과 만나는 점이므로 $x=1,3$에서 만납니다.

따라서 $S(-1)=1+3=4$입니다.

4) $k>1$ 이거나 $k<-1$ 인 경우:

코사인 함수의 치역은 $[-1,1]$이므로 교점이 없습니다. 즉, 실근이 존재하지 않아 $S(k)=0$입니다.

step3. $n$의 값에 따른 $g(n)$ 계산하기

이제 $n=4$부터 $10$까지 변할 때, $g(n)=S(\frac{4}{n})+S(-\frac{8}{n})$의 값을 하나씩 계산해 봅시다.

- $n=4$일 때:

$\cos \pi x=\frac{4}{4}=1$ 이고, $\cos \pi x=-\frac{8}{4}=-2$ 입니다.

$g(4)=S(1)+S(-2)=6+0=6$

$n=4$일 때 $\cos \pi x=1$의 근은 $0,2,4$로 3개입니다. 양 끝점 $0,4$가 포함되는지 정의역을 꼭 확인해야 해요!

- $n=5,6,7$일 때:

$\frac{4}{n}$는 $0$과 $1$ 사이의 값이고, $-\frac{8}{n}$은 $-1$보다 작습니다.

$g(5)=S(\frac{4}{5})+S(-\frac{8}{5})=8+0=8$

$g(6)=S(\frac{4}{6})+S(-\frac{8}{6})=8+0=8$

$g(7)=S(\frac{4}{7})+S(-\frac{8}{7})=8+0=8$

- $n=8$일 때:

$\cos \pi x=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ 이고, $\cos \pi x=-\frac{8}{8}=-1$ 입니다.

$g(8)=S(\frac{1}{2})+S(-1)=8+4=12$

- $n=9,10$일 때:

$\frac{4}{n}$는 $0$과 $1$ 사이의 값이고, $-\frac{8}{n}$은 $-1$과 $0$ 사이의 값입니다.

$g(9)=S(\frac{4}{9})+S(-\frac{8}{9})=8+8=16$

$g(10)=S(\frac{4}{10})+S(-\frac{8}{10})=8+8=16$

step4. 최종 정답 도출하기

마지막으로 구한 $g(n)$의 값들을 모두 더해주면 됩니다.

${\sum }_{n=4}^{10}g(n)=g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)+g(9)+g(10)$

$=6+8+8+8+12+16+16$

$=6+24+12+32$

$=74$

따라서 우리가 구하고자 하는 최종 값은 74입니다.

step1. 방정식 분리 및 정리하기

$|f(x)|=3⟺\frac{n}{2}\cos \pi x+1=\pm 3$

$\cos \pi x=\frac{4}{n}$ 또는 $\cos \pi x=-\frac{8}{n}$

step2. 코사인 그래프의 대칭성을 이용한 실근의 합 규칙 찾기

$y=\cos \pi x(0\le x\le 4)$의 주기는 2.

$\cos \pi x=k$의 실근의 합 $S(k)$는:

$k=1⟹x=0,2,4⟹S(1)=6$

$-1<k<1⟹$ 대칭성에 의해 $S(k)=2+6=8$

$k=-1⟹x=1,3⟹S(-1)=4$

$|k|>1⟹$ 실근 없음 $⟹S(k)=0$

step3. $n$의 값에 따른 $g(n)$ 계산하기

$n=4:S(1)+S(-2)=6+0=6$

$n=5,6,7:S(\frac{4}{n})+S(-\frac{8}{n})=8+0=8$

$n=8:S(\frac{1}{2})+S(-1)=8+4=12$

$n=9,10:S(\frac{4}{n})+S(-\frac{8}{n})=8+8=16$

step4. 최종 정답 도출하기

${\sum }_{n=4}^{10}g(n)=6+8\times 3+12+16\times 2=74$

$\therefore 74$