수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $\overline{CE}$와 $\overline{CD}$ 길이 구하기

먼저 원주각의 성질을 이용해 각을 옮겨볼게요. 호 BC에 대한 원주각은 $\angle BAC$와 $\angle BEC$이므로 두 각의 크기는 같아요.

따라서 $\cos (\angle BEC)=\cos (\angle BAC)=\frac{\sqrt{3}}{6}$ 입니다.

이제 $△CDE$를 살펴볼까요? $\angle CED$는 $\angle BEC$와 같은 각이므로 $\cos (\angle CED)=\frac{\sqrt{3}}{6}$ 이에요.

문제에서 $\overline{CD}+\overline{CE}=5\sqrt{3}$ 이라고 했으니, $\overline{CE}=x$ 라고 두면 $\overline{CD}=5\sqrt{3}-x$ 가 됩니다.

$△CDE$에서 두 변을 $x$로 표현했고 끼인각의 코사인 값을 아니까, 코사인 법칙을 적용하여 $x$를 구할 수 있어요.

${\overline{CD}}^2={\overline{CE}}^2+{\overline{DE}}^2-2·\overline{CE}·\overline{DE}·\cos (\angle CED)$

$(5\sqrt{3}-x{)}^2=x^2+5^2-2·x·5·\frac{\sqrt{3}}{6}$

$75-10\sqrt{3}x+x^2=x^2+25-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$

양변에서 $x^2$을 지우고 $x$에 대해 정리하면,

$50=10\sqrt{3}x-\frac{5\sqrt{3}}{3}x=\frac{25\sqrt{3}}{3}x$

$x=50\times \frac{3}{25\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

따라서 $\overline{CE}=2\sqrt{3}$ 이고, $\overline{CD}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ 입니다.

step2. $△ABD$와 $△ECD$의 닮음을 이용하여 $\overline{AD}$ 길이 구하기

이제 $\overline{AD}$의 길이를 구해야 $\overline{AC}$의 길이를 알 수 있어요. 원 안에서 두 현이 교차할 때 생기는 나비 넥타이 모양의 두 삼각형은 닮음이 되는 경우가 많아요.

호 AE에 대한 원주각을 보면 $\angle ABE=\angle ACE$ 입니다. 즉, $\angle ABD=\angle ECD$ 예요.

그리고 $\angle ADB$와 $\angle CDE$는 맞꼭지각으로 크기가 같아요.

따라서 $△ABD$와 $△ECD$는 두 각이 같으므로 AA 닮음입니다.

여기서 대응변을 헷갈리기 쉬워요. 각이 같은 꼭짓점끼리 순서를 맞춰보면 $△ABD~△ECD$ 이므로, $\overline{AB}$의 대응변은 $\overline{EC}$가 됩니다.

닮음비는 $\overline{AB}:\overline{EC}=2:2\sqrt{3}=1:\sqrt{3}$ 이에요.

우리가 구하고 싶은 $\overline{AD}$의 대응변은 $\overline{ED}$ 이므로,

$\overline{AD}:\overline{ED}=1:\sqrt{3}$

$\overline{AD}:5=1:\sqrt{3}$

$\overline{AD}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

step3. $△ABC$에서 코사인 법칙으로 $\overline{BC}$ 길이 구하기

이제 $△ABC$의 두 변의 길이를 알게 되었어요.

$\overline{AB}=2$ 이고, $\overline{AC}=\overline{AD}+\overline{CD}=\frac{5\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

끼인각 $\angle BAC$의 코사인 값도 알고 있으니, 다시 한 번 코사인 법칙을 써서 $\overline{BC}$의 길이를 구해볼게요.

${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2·\overline{AB}·\overline{AC}·\cos (\angle BAC)$

${\overline{BC}}^2=2^2+{\left(\frac{14\sqrt{3}}{3}\right)}^2-2·2·\frac{14\sqrt{3}}{3}·\frac{\sqrt{3}}{6}$

$=4+\frac{196\times 3}{9}-4·\frac{14\sqrt{3}}{3}·\frac{\sqrt{3}}{6}$

$=4+\frac{196}{3}-\frac{56\times 3}{18}$

$=4+\frac{196}{3}-\frac{28}{3}$

$=4+\frac{168}{3}=4+56=60$

따라서 $\overline{BC}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$ 입니다.

step4. 사인 법칙으로 외접원의 넓이 구하기

마지막으로 외접원의 반지름 $R$을 구하기 위해 사인 법칙을 사용할 차례예요.

먼저 $\sin (\angle BAC)$의 값을 구해야 합니다.

${\sin }^2(\angle BAC)=1-{\cos }^2(\angle BAC)=1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)}^2=1-\frac{3}{36}=\frac{33}{36}$

$\angle BAC$는 삼각형의 내각이므로 사인 값은 양수예요. 따라서 $\sin (\angle BAC)=\frac{\sqrt{33}}{6}$ 입니다.

사인 법칙에 의해,

$2R=\frac{\overline{BC}}{\sin (\angle BAC)}=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{33}}{6}}=\frac{12\sqrt{15}}{\sqrt{33}}=\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$

$R=\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$

외접원의 넓이는 $\pi R^2=\pi \times {\left(\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{11}}\right)}^2=\pi \times \frac{36\times 5}{11}=\frac{180}{11}\pi$ 가 됩니다.

문제에서 이 넓이가 $\frac{q}{p}\pi$ 라고 했으므로 $p=11,q=180$ 이에요.

따라서 $p+q=11+180=191$ 입니다.

step1. $\overline{CE},\overline{CD}$ 구하기

$\angle CED=\angle BAC$   --- (원주각이므로)

$\cos (\angle CED)=\frac{\sqrt{3}}{6}$

$\overline{CE}=x$ 라 하면 $\overline{CD}=5\sqrt{3}-x$

$△CDE$에서 코사인 법칙:

$(5\sqrt{3}-x{)}^2=x^2+25-2·x·5·\frac{\sqrt{3}}{6}$

$75-10\sqrt{3}x=25-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$

$\frac{25\sqrt{3}}{3}x=50⟹x=2\sqrt{3}$

$\therefore \overline{CE}=2\sqrt{3},\overline{CD}=3\sqrt{3}$

step2. $\overline{AD}$ 구하기

$\angle ABD=\angle ECD$, $\angle ADB=\angle CDE$   --- (원주각과 맞꼭지각)

$△ABD~△ECD$   --- AA 닮음

$\overline{AB}:\overline{EC}=\overline{AD}:\overline{ED}$

$2:2\sqrt{3}=\overline{AD}:5⟹\overline{AD}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

step3. $\overline{BC}$ 구하기

$\overline{AC}=\overline{AD}+\overline{CD}=\frac{5\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$

$△ABC$에서 코사인 법칙:

${\overline{BC}}^2=2^2+{\left(\frac{14\sqrt{3}}{3}\right)}^2-2·2·\frac{14\sqrt{3}}{3}·\frac{\sqrt{3}}{6}$

$=4+\frac{196}{3}-\frac{28}{3}=60$

$\therefore \overline{BC}=2\sqrt{15}$

step4. 외접원 넓이 구하기

$\sin (\angle BAC)=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\frac{\sqrt{33}}{6}$

$2R=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{33}}{6}}=\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{11}}⟹R=\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$

$S=\pi R^2=\frac{180}{11}\pi$

$\therefore p=11,q=180⟹p+q=191$