수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $2^a=3^b=c$를 로그로 표현하고, 구하고자 하는 ${\log }_{6}c$를 $a,b$로 나타냅니다.

$2^a=c$에서 $a={\log }_{2}c$이고, $3^b=c$에서 $b={\log }_{3}c$입니다.

여기서 밑이 2, 3으로 다르기 때문에 계산이 어려워 보일 수 있어요. 이럴 때는 밑을 $c$로 통일하는 것이 좋습니다.

밑변환 공식을 사용하면 $\frac{1}{a}={\log }_{c}2$, $\frac{1}{b}={\log }_{c}3$이 됩니다.

두 식을 더하면 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{c}2+{\log }_{c}3={\log }_{c}6$이 되죠.

우리가 구하고 싶은 값은 ${\log }_{6}c$이므로, 이는 $\frac{1}{{\log }_{c}6}$과 같습니다.

따라서 ${\log }_{6}c=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}$가 됩니다.

구하고자 하는 값을 $a,b$에 대한 식 $\frac{ab}{a+b}$로 나타내는 것이 이 문제의 첫 번째 키포인트입니다.

step2. 주어진 이차식 $a^2+b^2=2ab(a+b-1)$을 곱셈 공식을 이용해 변형합니다.

이제 주어진 다항식을 정리해볼까요?

좌변의 $a^2+b^2$을 곱셈 공식의 변형을 이용해 $(a+b{)}^2-2ab$로 바꿉니다.

$(a+b{)}^2-2ab=2ab(a+b-1)$

우변을 전개하면 $2ab(a+b)-2ab$가 됩니다.

양변에서 $-2ab$를 지워주면,

$(a+b{)}^2=2ab(a+b)$가 됩니다.

step3. 변형된 식에서 $a+b$와 $ab$의 관계를 찾아 정답을 도출합니다.

문제에서 $a,b$는 양수라고 했으므로 $a+b>0$입니다.

따라서 양변을 $a+b$로 나눌 수 있어요.

$a+b=2ab$

우리가 step1에서 구하고자 했던 값은 $\frac{ab}{a+b}$였죠?

위 식의 양변을 $2(a+b)$로 나누면,

$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{2}$이 됩니다.

따라서 ${\log }_{6}c=\frac{1}{2}$입니다.

step1. $2^a=3^b=c$를 로그로 표현하고, 구하고자 하는 ${\log }_{6}c$를 $a,b$로 나타냅니다.

$a={\log }_{2}c⟹\frac{1}{a}={\log }_{c}2$

$b={\log }_{3}c⟹\frac{1}{b}={\log }_{c}3$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{c}6$

${\log }_{6}c=\frac{1}{{\log }_{c}6}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}$

step2. 주어진 이차식 $a^2+b^2=2ab(a+b-1)$을 곱셈 공식을 이용해 변형합니다.

$a^2+b^2=2ab(a+b-1)$

$(a+b{)}^2-2ab=2ab(a+b)-2ab$

$(a+b{)}^2=2ab(a+b)$

step3. 변형된 식에서 $a+b$와 $ab$의 관계를 찾아 정답을 도출합니다.

$a,b>0$이므로 $a+b>0$

$a+b=2ab$   --- 양변을 $a+b$로 나눔

$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{2}$

∴ $\frac{1}{2}$