2023년 9월 학력평가 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 등차수열의 일반항을 이용해 미지수 간의 관계식을 찾고, 산술·기하 평균의 관계를 적용하여 최솟값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 조건 (가)를 통해 수열이 등차수열임을 파악하고 일반항을 설정합니다.

step2. 조건 (나)에 일반항을 대입하여 첫째항과 공차의 관계식을 구합니다.

step3. 구하고자 하는 식을 첫째항과 공차로 나타내고, 산술·기하 평균의 관계를 이용하여 최솟값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 등차중항 : 세 수 $a, b, c$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $2 b = a + c$ 가 성립합니다.

- 산술·기하 평균의 관계 : $a > 0, b > 0$ 일 때, $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 가 성립하며, 등호는 $a = b$ 일 때 성립합니다.

5. 구체적 풀이

조건 (가)의

2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}

를 보는 순간, 이 수열이 등차수열임을 바로 알아채야 해요. 그 다음엔 모든 항을 첫째항

a

와 공차

d

로 표현해서 조건 (나)에 대입해보는 것이 핵심입니다. 복잡해 보여도 전개하면 식이 아주 깔끔하게 정리될 거예요.

step1. 수열의 종류 파악 및 일반항 설정

조건 (가)에서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ 가 성립한다고 했어요. 이는 등차중항을 나타내는 식이므로, 수열 ${a_{n}}$ 은 등차수열입니다.

수열 ${a_{n}}$ 의 첫째항을 $a$ , 공차를 $d$ 라고 하면 일반항은 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 로 쓸 수 있어요.

여기서 모든 항이 양수라는 조건을 놓치기 쉽습니다. 모든 자연수 $n$ 에 대해 $a_{n} > 0$ 이려면 첫째항 $a > 0$ 이어야 하고, 공차 $d \geq 0$ 이어야 해요. 만약 $d < 0$ 이라면 $n$ 이 커질 때 결국 음수가 되는 항이 생기기 때문이죠.

step2. 조건 (나)를 이용한 관계식 도출

이제 조건 (나)의 $a_{3} \times a_{22} = a_{7} \times a_{8} + 10$ 에 일반항을 대입해 볼게요.

$a_{3} = a + 2 d$

$a_{22} = a + 21 d$

$a_{7} = a + 6 d$

$a_{8} = a + 7 d$

이것들을 식에 대입하면,

$(a + 2 d) (a + 21 d) = (a + 6 d) (a + 7 d) + 10$

좌변을 전개하면 $a^{2} + 23 a d + 42 d^{2}$ 이 되고,

우변을 전개하면 $a^{2} + 13 a d + 42 d^{2} + 10$ 이 됩니다.

양변에서 $a^{2}$ 과 $42 d^{2}$ 이 똑같이 있으니 지워줄 수 있겠죠?

$23 a d = 13 a d + 10$

$10 a d = 10$

따라서 $a d = 1$ 이라는 아주 간단한 관계식을 얻을 수 있습니다.

step3. 산술·기하 평균을 이용한 최솟값 계산

우리가 구해야 하는 값은 $a_{4} + a_{6}$ 입니다.

이것도 $a$ 와 $d$ 로 나타내면,

$a_{4} + a_{6} = (a + 3 d) + (a + 5 d) = 2 a + 8 d$ 가 됩니다.

$a d = 1$ 이므로 $a$ 와 $d$ 는 모두 양수입니다.

양수의 합의 최솟값을 구해야 하고 두 수의 곱을 알고 있으므로, 산술·기하 평균의 관계를 떠올려야 합니다.

$2 a > 0, 8 d > 0$ 이므로 산술·기하 평균의 관계를 적용하면,

$2 a + 8 d \geq 2 \sqrt{2 a \times 8 d} = 2 \sqrt{16 a d}$

여기에 $a d = 1$ 을 대입하면,

$2 \sqrt{16 \times 1} = 2 \times 4 = 8$

따라서 $2 a + 8 d \geq 8$ 이 되어 최솟값은 8이 됩니다.

(참고로 등호는 $2 a = 8 d$ , 즉 $a = 4 d$ 일 때 성립하며, $a d = 1$ 과 연립하면 $d = \frac{1}{2}, a = 2$ 일 때 최솟값을 가집니다.)

⚡ 실전용 풀이

step1. 수열의 종류 파악 및 일반항 설정

$2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ --- 등차수열이므로

$a_{n} = a + (n - 1) d$ --- $a > 0, d \geq 0$

step2. 조건 (나)를 이용한 관계식 도출

$(a + 2 d) (a + 21 d) = (a + 6 d) (a + 7 d) + 10$

$a^{2} + 23 a d + 42 d^{2} = a^{2} + 13 a d + 42 d^{2} + 10$

$10 a d = 10$

$∴ a d = 1$

step3. 산술·기하 평균을 이용한 최솟값 계산

$a_{4} + a_{6} = (a + 3 d) + (a + 5 d) = 2 a + 8 d$

$2 a + 8 d \geq 2 \sqrt{16 a d}$ --- 산술·기하 평균의 관계 이용

$a d = 1$ 에 대입하면

$2 a + 8 d \geq 2 \sqrt{16} = 8$

--- 등호는 $2 a = 8 d$ , 즉 $a = 2, d = 1 / 2$ 일 때 성립

$∴ 8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건 (가)를 보고 등차수열임을 파악했더라도, 조건 (나)를 전개하여 $a d = 1$ 이라는 관계식을 이끌어내는 과정에서 계산 실수를 하거나 복잡해 보여 포기할 수 있습니다.
$a d = 1$ 을 구한 후, $a_{4} + a_{6} = 2 a + 8 d$ 의 최솟값을 구해야 하는데, 여기서 산술·기하 평균의 관계를 떠올리지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

등차수열의 일반항 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 를 조건 (나)의 각 항에 대입하여 차분히 전개하면 $a^{2}$ 과 $d^{2}$ 항이 소거되어 간단한 관계식 $a d = 1$ 을 얻을 수 있습니다.
합의 최솟값을 구해야 하고, 두 변수의 곱이 일정하며, 모든 항이 양수라는 조건이 있으므로 산술·기하 평균의 관계를 적용해 보세요.
(팁: 양수 조건과 합의 최솟값 또는 곱의 최댓값을 묻는 문제에서는 항상 산술·기하 평균을 의심해 보세요.)

2023년 9월 학력평가 고2 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 등차수열 / 산술·기하 평균
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구