2023년 9월 학력평가 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 사인 값을 구한 뒤, 삼각함수의 관계식을 통해 코사인 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 $\sin (∠ ABC)$ 의 값을 구합니다.

step2. 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 $\cos (∠ ABC)$ 의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각형의 넓이 공식 : 두 변의 길이가 $a, b$ 이고 그 끼인각의 크기가 $θ$ 일 때, 삼각형의 넓이 $S$ 는 $S = \frac{1}{2} a b \sin θ$ 입니다.

- 삼각함수 사이의 관계 : 임의의 각 $θ$ 에 대하여 $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ 이 성립합니다.

5. 구체적 풀이

삼각형의 두 변의 길이와 넓이가 주어졌네요! 이럴 때는 가장 먼저 '두 변과 끼인각을 이용한 삼각형의 넓이 공식'을 떠올려야 해요. 이 공식을 쓰면 끼인각의 사인(

\sin

) 값을 바로 알아낼 수 있거든요. 사인 값을 알면 코사인(

\cos

) 값은 쉽게 구할 수 있겠죠?

step1. $\sin (∠ ABC)$ 구하기

삼각형의 넓이 공식을 이용해 볼까요? 두 변 $\overset{―}{AB}$ 와 $\overset{―}{BC}$ , 그리고 그 끼인각인 $∠ ABC$ 를 이용하면 넓이 $S$ 는 다음과 같이 쓸 수 있어요.

$S = \frac{1}{2} \times \overset{―}{AB} \times \overset{―}{BC} \times \sin (∠ ABC)$

문제에서 주어진 값들을 대입해 볼게요.

$15 = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 \times \sin (∠ ABC)$

$15 = 21 \times \sin (∠ ABC)$

양변을 21로 나누면 $\sin (∠ ABC)$ 의 값을 구할 수 있어요.

$\sin (∠ ABC) = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$

step2. $\cos (∠ ABC)$ 구하기

이제 $\sin (∠ ABC) = \frac{5}{7}$ 이라는 것을 알았으니, $\cos (∠ ABC)$ 를 구해봅시다.

삼각함수 사이의 관계식인 $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ 을 이용할 거예요.

${(\frac{5}{7})}^{2} + \cos^{2} (∠ ABC) = 1$

$\frac{25}{49} + \cos^{2} (∠ ABC) = 1$

$\cos^{2} (∠ ABC) = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

여기서 제곱근을 취할 때 부호를 조심해야 해요. 문제의 조건에서 $0 < ∠ ABC < \frac{π}{2}$ 라고 했죠?

이 각도는 제1사분면의 각이므로, 코사인 값은 반드시 양수(+)가 되어야 합니다.

따라서,

$\cos (∠ ABC) = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $\sin (∠ ABC)$ 구하기

$S = \frac{1}{2} \times \overset{―}{AB} \times \overset{―}{BC} \times \sin (∠ ABC)$

$15 = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 \times \sin (∠ ABC)$

$21 \sin (∠ ABC) = 15$

$\sin (∠ ABC) = \frac{5}{7}$

step2. $\cos (∠ ABC)$ 구하기

$\sin^{2} (∠ ABC) + \cos^{2} (∠ ABC) = 1$ --- 삼각함수 관계식 이용

$\cos^{2} (∠ ABC) = 1 - {(\frac{5}{7})}^{2} = \frac{24}{49}$

$0 < ∠ ABC < \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (∠ ABC) > 0$

$\cos (∠ ABC) = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

$∴ ②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

두 변의 길이와 넓이가 주어졌을 때, 끼인각의 사인 값을 구하는 공식을 떠올리지 못할 수 있습니다.
사인 값을 구한 후 코사인 값으로 변환할 때, 부호를 결정하는 각도의 범위를 놓칠 수 있습니다.

🔑 돌파구

삼각형의 넓이가 주어지고 두 변의 길이가 주어졌다면, 넓이 공식 $S = \frac{1}{2} a b \sin θ$ 를 떠올려 끼인각의 사인 값을 구합니다.
$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ 을 이용하여 코사인 값을 구하고, 주어진 각도의 범위가 제1사분면(예각)이므로 코사인 값이 양수임을 확인합니다.
(팁) 삼각함수 값 하나를 알면 직각삼각형을 그려서 피타고라스의 정리를 이용해 나머지 삼각함수 값을 쉽게 구할 수도 있습니다.

2023년 9월 학력평가 고2 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 삼각함수 / 삼각형의 넓이
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구