수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 교점의 $x$좌표 $x_n$ 구하기

원 $x^2+y^2=n$과 직선 $y=\sqrt{3}x$가 만나는 점을 찾기 위해 두 식을 연립합니다.

$y=\sqrt{3}x$를 원의 방정식에 대입하면,

$x^2+(\sqrt{3}x{)}^2=n$

$x^2+3x^2=n$

$4x^2=n$

$x^2=\frac{n}{4}$

여기서 $x$값을 구할 때 부호를 조심해야 해요. 문제에서 교점이 '제1사분면'에 있다고 했으므로 $x>0$이어야 합니다.

따라서 $x=\sqrt{\frac{n}{4}}=\frac{\sqrt{n}}{2}$이 됩니다.

즉, $x_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$ 입니다.

step2. 시그마 내부 식 정리 및 유리화

이제 구해야 할 식 $\frac{1}{x_k+x_{k+1}}$에 $x_n$을 대입해 봅시다.

$x_k=\frac{\sqrt{k}}{2}$, $x_{k+1}=\frac{\sqrt{k+1}}{2}$ 이므로,

$\frac{1}{x_k+x_{k+1}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{k}}{2}+\frac{\sqrt{k+1}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$

분모에 무리식이 있는 수열의 합은 분모를 유리화하여 차의 형태로 만드는 것이 중요합니다.

분모와 분자에 $(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$를 곱하여 유리화합니다. (계산의 편의를 위해 큰 수를 앞에 두는 것이 좋아요.)

$\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\frac{2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}$

분모는 합차공식에 의해 $(\sqrt{k+1}{)}^2-(\sqrt{k}{)}^2=(k+1)-k=1$이 됩니다.

따라서 식은 $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$로 간단해집니다.

step3. 수열의 합 계산하기

정리된 식을 원래의 시그마에 대입하여 계산합니다.

${\sum }_{k=1}^{80}\frac{1}{x_k+x_{k+1}}={\sum }_{k=1}^{80}2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$

상수 2를 앞으로 빼고, $k=1$부터 $80$까지 차례대로 대입하여 나열해 봅니다.

$=2\{(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots +(\sqrt{81}-\sqrt{80})\}$

나열해보면 앞 괄호의 양수 항과 뒤 괄호의 음수 항이 차례대로 지워지는 것을 볼 수 있어요.

$\sqrt{2},\sqrt{3},\dots ,\sqrt{80}$이 모두 소거되고, 맨 앞의 $-\sqrt{1}$과 맨 뒤의 $\sqrt{81}$만 남게 됩니다.

$=2(\sqrt{81}-\sqrt{1})$

$\sqrt{81}=9$이고 $\sqrt{1}=1$이므로,

$=2(9-1)=2\times 8=16$

따라서 정답은 16입니다.

step1. 교점의 $x$좌표 $x_n$ 구하기

$x^2+(\sqrt{3}x{)}^2=n$

$4x^2=n\Rightarrow x^2=\frac{n}{4}$

--- 제1사분면이므로 $x>0$

$x_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$

step2. 시그마 내부 식 정리 및 유리화

$\frac{1}{x_k+x_{k+1}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{k}}{2}+\frac{\sqrt{k+1}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$

--- 분모 유리화

$=\frac{2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}$

$=2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$

step3. 수열의 합 계산하기

${\sum }_{k=1}^{80}2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$

$=2\{(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots +(\sqrt{81}-\sqrt{80})\}$

$=2(\sqrt{81}-\sqrt{1})$

$=2(9-1)=16$

$\therefore ⑤$