수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 항 구하기

주어진 점화식에 따라 $a_1$부터 차례대로 값을 구해볼게요.

조건에서 $a_1=2$라고 주어졌습니다.

$a_1=2$는 $8$보다 작으므로 위의 식을 사용합니다.

$a_2=2a_1-1=2(2)-1=3$

$a_2=3$도 $8$보다 작으므로 다시 위의 식을 사용합니다.

$a_3=2a_2-1=2(3)-1=5$

$a_3=5$ 역시 $8$보다 작습니다.

$a_4=2a_3-1=2(5)-1=9$

이제 $a_4=9$는 $8$보다 크거나 같으므로 아래의 식을 사용해야 합니다.

$a_5=\frac{1}{3}{a}_4=\frac{1}{3}(9)=3$

$a_5=3$은 $8$보다 작으므로 다시 위의 식을 사용합니다.

$a_6=2a_5-1=2(3)-1=5$

$a_6=5$는 $8$보다 작으므로,

$a_7=2a_6-1=2(5)-1=9$

step2. 규칙 찾기

구해진 항들을 순서대로 나열해보면 $2,3,5,9,3,5,9,\dots$ 가 됩니다. 즉, 두 번째 항부터 $3,5,9$가 반복되는 주기수열임을 알 수 있습니다.

$a_2,a_3,a_4$가 $3,5,9$이고, $a_5,a_6,a_7$도 $3,5,9$로 똑같이 반복되고 있죠. 주기가 3인 패턴을 찾았습니다.

step3. 합 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 ${\sum }_{k=1}^{16}{a}_k$, 즉 첫째항부터 제16항까지의 합입니다.

여기서 첫째항 $a_1=2$는 반복되는 패턴에 포함되지 않으므로, 따로 떼어내고 두 번째 항부터 묶어서 계산해야 합니다.

식을 분리해보면 다음과 같습니다.

${\sum }_{k=1}^{16}{a}_k=a_1+{\sum }_{k=2}^{16}{a}_k$

$a_2$부터 $a_{16}$까지는 총 $16-2+1=15$개의 항이 있습니다.

이 15개의 항은 3개씩 묶으면 정확히 5묶음이 됩니다.

한 묶음의 합은 $3+5+9=17$입니다.

따라서 두 번째 항부터 열여섯 번째 항까지의 합은 $17\times 5=85$가 됩니다.

마지막으로 따로 떼어두었던 첫째항 $a_1=2$를 더해주면,

전체 합은 $2+85=87$이 됩니다.

step1. 항 구하기

$a_1=2$

$a_2=2(2)-1=3$

$a_3=2(3)-1=5$

$a_4=2(5)-1=9$

$a_5=\frac{1}{3}(9)=3$

$a_6=2(3)-1=5$

$a_7=2(5)-1=9$

step2. 규칙 찾기

--- $n\ge 2$부터 $3,5,9$가 반복됨을 이용

step3. 합 계산하기

${\sum }_{k=1}^{16}{a}_k=a_1+{\sum }_{k=2}^{16}{a}_k$

$=2+5\times (3+5+9)$

$=2+5\times 17$

$=87$

$\therefore ④$