2023년 9월 학력평가 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

18. 그림과 같이 두 곡선

y = \log_{2} x

y = \log_{2} (x - p) + q

가 점

(4, 2)

에서 만난다. 두 곡선

y = \log_{2} x

y = \log_{2} (x - p) + q

가

x

축과 만나는 점을 각각

A

B

라 하고, 직선

y = 3

과 만나는 점을 각각

C

D

라 하자.

\overset{―}{C D} - \overset{―}{B A} = \frac{3}{4}

일 때,

p + q

의 값은? (단,

0 < p < 4

q > 0

) [4점]
①

\frac{7}{2}

② 4 ③

\frac{9}{2}

④ 5 ⑤

\frac{11}{2}

이 문제는 로그함수의 그래프 위의 점의 좌표를 문자로 표현하고, 지수와 로그의 관계를 이용하여 연립방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

y = \log_{2} x

y = \log_{2} (x - p) + q

- 두 곡선이 점

(4, 2)

에서 만남
-

A

y = \log_{2} x

와

x

축의 교점
-

B

y = \log_{2} (x - p) + q

와

x

축의 교점
-

C

y = \log_{2} x

와

y = 3

의 교점
-

D

y = \log_{2} (x - p) + q

와

y = 3

의 교점
-

\overset{―}{C D} - \overset{―}{B A} = \frac{3}{4}

0 < p < 4

q > 0

이 문제는 그래프의 교점과 절편의 좌표를 문자로 표현한 뒤, 주어진 조건식을 연립방정식으로 풀어내는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 두 곡선이 만나는 점 $(4, 2)$ 를 이용하여 $p$ 와 $q$ 의 관계식을 찾습니다.

step2. 네 점 $A, B, C, D$ 의 $x$ 좌표를 각각 구합니다.

step3. 주어진 선분 길이 조건 $\overset{―}{C D} - \overset{―}{B A} = \frac{3}{4}$ 에 맞게 방정식을 세웁니다.

step4. step1의 관계식을 step3의 방정식에 대입하여 $p$ 와 $q$ 의 값을 구합니다.

- 로그의 정의 : $y = \log_{a} x ⟺ x = a^{y}$ ( $a > 0, a \neq 1, x > 0$ )

- 지수법칙과 로그의 성질 : $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ , $a^{\log_{a} b} = b$

그래프 문제에서 가장 먼저 해야 할 일은 점의 좌표를 구하는 것입니다.

y

값이 주어졌을 때

x

값을 구하려면 로그를 지수로 바꾸면 됩니다. 좌표를 모두 구한 뒤 선분의 길이를 식으로 나타내면, 우리가 풀어야 할 연립방정식이 보일 거예요.

step1. 점 $(4, 2)$ 를 지나는 조건으로 $p, q$ 의 관계식 찾기

두 곡선이 점 $(4, 2)$ 에서 만나므로, 이 점을 $y = \log_{2} (x - p) + q$ 에 대입해 봅시다.

$2 = \log_{2} (4 - p) + q$

이 식을 $q$ 에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

$q = 2 - \log_{2} (4 - p)$

step2. 네 점 $A, B, C, D$ 의 $x$ 좌표 구하기

이제 각 점의 $y$ 좌표를 이용하여 $x$ 좌표를 구해볼게요. 로그식을 지수식으로 바꾸는 로그의 정의( $\log_{a} X = Y ⟺ X = a^{Y}$ )를 활용합니다.

- 점 $A$ : $y = \log_{2} x$ 가 $x$ 축( $y = 0$ )과 만나는 점

$\log_{2} x = 0 ⟹ x = 2^{0} = 1$

- 점 $B$ : $y = \log_{2} (x - p) + q$ 가 $x$ 축( $y = 0$ )과 만나는 점

$\log_{2} (x - p) + q = 0 ⟹ \log_{2} (x - p) = - q$

$x - p = 2^{- q} ⟹ x = p + 2^{- q}$

- 점 $C$ : $y = \log_{2} x$ 가 직선 $y = 3$ 과 만나는 점

$\log_{2} x = 3 ⟹ x = 2^{3} = 8$

- 점 $D$ : $y = \log_{2} (x - p) + q$ 가 직선 $y = 3$ 과 만나는 점

$\log_{2} (x - p) + q = 3 ⟹ \log_{2} (x - p) = 3 - q$

$x - p = 2^{3 - q} ⟹ x = p + 2^{3 - q}$

step3. 선분의 길이 조건으로 방정식 세우기

선분의 길이는 큰 $x$ 좌표에서 작은 $x$ 좌표를 빼서 구합니다. 그림을 보면 $C$ 가 $D$ 보다 오른쪽에 있고, $B$ 가 $A$ 보다 오른쪽에 있죠?

좌표의 대소 관계를 잘못 파악하면 부호가 반대로 되어 계산이 틀릴 수 있으니 조심해야 해요.

$\overset{―}{C D} = 8 - (p + 2^{3 - q})$

$\overset{―}{B A} = (p + 2^{- q}) - 1$

이제 문제의 조건인 $\overset{―}{C D} - \overset{―}{B A} = \frac{3}{4}$ 에 대입해 봅니다.

$8 - p - 2^{3 - q} - (p + 2^{- q} - 1) = \frac{3}{4}$

$9 - 2 p - 2^{3 - q} - 2^{- q} = \frac{3}{4}$

여기서 $2^{3 - q} = 2^{3} \cdot 2^{- q} = 8 \cdot 2^{- q}$ 이므로, 식을 더 간단히 묶을 수 있어요.

$9 - 2 p - 8 \cdot 2^{- q} - 2^{- q} = \frac{3}{4}$

$9 - 2 p - 9 \cdot 2^{- q} = \frac{3}{4}$

step4. 연립방정식 풀기

이제 step1에서 구한 $q = 2 - \log_{2} (4 - p)$ 를 step3의 식에 대입할 차례입니다.

먼저 $2^{- q}$ 부분을 따로 계산해 볼게요. 지수법칙과 로그의 성질( $a^{\log_{a} b} = b$ )을 적용하여 식을 다항식으로 변환하는 것이 포인트입니다.

$2^{- q} = 2^{- (2 - \log_{2} (4 - p))} = 2^{- 2 + \log_{2} (4 - p)}$

지수법칙에 의해 분리하면,

$2^{- 2} \cdot 2^{\log_{2} (4 - p)} = \frac{1}{4} \cdot (4 - p)$

이 결과를 step3의 식에 대입합니다.

$9 - 2 p - 9 \cdot \frac{1}{4} (4 - p) = \frac{3}{4}$

$9 - 2 p - \frac{9}{4} (4 - p) = \frac{3}{4}$

괄호를 풀고 정리해 볼까요?

$9 - 2 p - 9 + \frac{9}{4} p = \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4} p = \frac{3}{4}$

따라서 $p = 3$ 이 됩니다.

마지막으로 $p = 3$ 을 $q = 2 - \log_{2} (4 - p)$ 에 대입하여 $q$ 를 구합니다.

$q = 2 - \log_{2} (4 - 3) = 2 - \log_{2} 1 = 2 - 0 = 2$

우리가 구하려는 값은 $p + q$ 이므로,

$p + q = 3 + 2 = 5$ 입니다.

step1. 교점 조건

$2 = \log_{2} (4 - p) + q$

$∴ q = 2 - \log_{2} (4 - p)$

step2. 네 점의 $x$ 좌표

$A$ : $\log_{2} x = 0 ⟹ x = 1$

$B$ : $\log_{2} (x - p) + q = 0 ⟹ x = p + 2^{- q}$

$C$ : $\log_{2} x = 3 ⟹ x = 8$

$D$ : $\log_{2} (x - p) + q = 3 ⟹ x = p + 2^{3 - q}$

step3. 선분 길이 조건

$\overset{―}{C D} = 8 - (p + 2^{3 - q})$

$\overset{―}{B A} = (p + 2^{- q}) - 1$

$\overset{―}{C D} - \overset{―}{B A} = 9 - 2 p - 2^{3 - q} - 2^{- q} = \frac{3}{4}$

$9 - 2 p - 9 \cdot 2^{- q} = \frac{3}{4}$

step4. 연립하여 풀기

--- $q = 2 - \log_{2} (4 - p)$ 이므로

$2^{- q} = 2^{- 2 + \log_{2} (4 - p)} = \frac{1}{4} (4 - p)$

--- 위 식에 대입하면

$9 - 2 p - \frac{9}{4} (4 - p) = \frac{3}{4}$

$9 - 2 p - 9 + \frac{9}{4} p = \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4} p = \frac{3}{4} ⟹ p = 3$

$q = 2 - \log_{2} (4 - 3) = 2$

$∴ p + q = 5$

🔒 막힌 이유

$y$ 값이 주어졌을 때 $x$ 좌표를 구하는 과정에서 로그식을 지수식으로 변환하는 것이 헷갈릴 수 있습니다.
$q = 2 - \log_{2} (4 - p)$ 를 선분 길이 식에 대입할 때, $2^{- q}$ 를 $p$ 에 대한 식으로 깔끔하게 정리하지 못해 계산이 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

$\log_{a} X = Y$ 형태의 식은 로그의 정의에 따라 $X = a^{Y}$ 로 바꾸어 $x$ 에 대해 정리합니다.
$2^{- q}$ 에 $q$ 를 대입한 후, 지수법칙 $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ 과 로그의 성질 $a^{\log_{a} b} = b$ 를 차근차근 적용하여 다항식 형태로 변환합니다.
지수에 로그가 있을 때는 밑을 같게 만들어 진수만 빼내는 성질을 적극 활용하세요!

2023년 9월 학력평가 고2 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 지수함수와 로그함수 / 로그함수의 그래프
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구