수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $\theta$의 사분면과 $\cos \theta$의 부호 확인

문제에서 주어진 각도의 범위는 $\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$입니다. 이는 $\theta$가 제3사분면의 각이라는 뜻이에요. 제3사분면에서는 $\tan$만 양수이고, $\sin$과 $\cos$는 모두 음수입니다. 여기서 $\cos \theta$의 부호가 음수(-)라는 점을 놓치기 쉬우니 꼭 먼저 체크해두어야 해요. 따라서 우리가 구할 $\cos \theta$의 값은 음수여야 합니다.

step2. $\tan \theta$를 이용하여 ${\cos }^2\theta$ 구하기

$\tan \theta =2$라는 조건이 주어졌어요. 삼각함수 사이의 관계식 중 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$를 이용하면 편리합니다. $\tan$ 값을 알 때 $\cos$ 값을 구하는 가장 직접적인 공식이에요. 식에 대입해보면, $1+2^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$가 됩니다. 계산하면 $1+4=5$이므로, $\frac{1}{{\cos }^2\theta }=5$가 되죠. 양변의 역수를 취하면 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$을 얻을 수 있습니다.

step3. $\cos \theta$의 최종 값 도출

${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$이므로, $\cos \theta$는 $\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$가 됩니다. step1에서 $\cos \theta <0$임을 확인했으므로, $\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}$가 맞습니다. 마지막으로 분모를 유리화하면 $\cos \theta =-\frac{\sqrt{5}}{5}$가 됩니다. 따라서 정답은 ②번입니다.

step1. $\theta$의 사분면과 $\cos \theta$의 부호 확인

$\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$

$\therefore \cos \theta <0$

step2. $\tan \theta$를 이용하여 ${\cos }^2\theta$ 구하기

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

$1+2^2=5=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$

step3. $\cos \theta$의 최종 값 도출

$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}$   --- ($\cos \theta <0$이므로)

$\cos \theta =-\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\therefore ②$