2023년 9월 학력평가 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]

14.

4 \leq n \leq 12

인 자연수

n

에 대하여

n^{2} - 15 n + 50

의

n

제곱근 중 실수인 것의 개수를

f (n)

이라 하자.

f (n) = f (n + 1)

을 만족시키는 모든

n

의 값의 합은? [4점]
① 15 ② 17 ③ 19 ④ 21 ⑤ 23

이 문제는 어떤 실수의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수가 $n$ 의 홀짝성과 실수의 부호에 따라 어떻게 달라지는지 이해하고 적용할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

4 \leq n \leq 12

인 자연수

n

f (n)

은

n^{2} - 15 n + 50

의

n

제곱근 중 실수인 것의 개수
-

f (n) = f (n + 1)

을 만족

이 문제는 $n$ 의 홀짝성과 이차식의 부호에 따라 거듭제곱근의 개수를 구하고, 차례대로 나열하여 조건을 만족하는 $n$ 을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 구하는 핵심 개념을 정리합니다.

step2. 주어진 이차식을 인수분해하여 부호를 판별하기 쉽게 만듭니다.

step3. $n = 4$ 부터 $n = 13$ 까지 $f (n)$ 의 값을 차례대로 구합니다.

step4. $f (n) = f (n + 1)$ 을 만족하는 $n$ 을 찾고 그 합을 계산합니다.

- 실수의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수 : 실수 $a$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수는 다음과 같이 결정됩니다. 1) $n$ 이 홀수일 때: $a$ 의 값에 관계없이 항상 1개입니다. 2) $n$ 이 짝수일 때: $a > 0$ 이면 2개, $a = 0$ 이면 1개, $a < 0$ 이면 0개입니다.

이 문제를 처음 보면 '

n

제곱근 중 실수인 것의 개수'라는 표현에서 바로 개념이 떠올라야 해요.

n

이 홀수인지 짝수인지, 그리고 대상이 되는 수인

n^{2} - 15 n + 50

이 양수인지, 0인지, 음수인지에 따라 개수가 결정된다는 점이 이 문제의 가장 중요한 열쇠랍니다. 복잡하게 생각하지 말고 하나씩 차분히 따져보면 충분히 풀 수 있어요.

step1. 거듭제곱근의 개수 규칙 확인하기

먼저 $f (n)$ 이 무엇인지 정확히 이해해 볼게요. $f (n)$ 은 어떤 수의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수예요.

여기서 가장 중요한 것은 $n$ 이 홀수일 때는 무조건 개수가 1개라는 점이에요.

반면에 $n$ 이 짝수일 때는 대상이 되는 수가 양수면 2개, 0이면 1개, 음수면 0개가 됩니다. 이 규칙을 머릿속에 꼭 담아두고 다음 단계로 넘어가 볼까요?

step2. 이차식 인수분해하기

우리가 부호를 따져야 할 대상은 $n^{2} - 15 n + 50$ 이에요. 이 상태로 $n$ 을 대입하면 계산이 번거로우니 인수분해를 해볼게요.

$n^{2} - 15 n + 50 = (n - 5) (n - 10)$

이렇게 만들어두면 $n$ 에 숫자를 넣었을 때 양수인지, 0인지, 음수인지 아주 쉽게 알 수 있답니다.

step3. $f (n)$ 의 값 차례대로 구하기

이제 $n = 4$ 부터 차례대로 $f (n)$ 을 구해볼게요.

문제에서 $n$ 의 범위가 $12$ 까지 주어졌지만, 우리가 확인해야 할 조건은 $f (n) = f (n + 1)$ 이므로 $n = 12$ 일 때 $f (13)$ 의 값도 꼭 구해야 한다는 점을 잊지 마세요!

- $n = 4$ (짝수): $(4 - 5) (4 - 10) = (- 1) (- 6) = 6 > 0$ 이므로 $f (4) = 2$

- $n = 5$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f (5) = 1$

- $n = 6$ (짝수): $(6 - 5) (6 - 10) = (1) (- 4) = - 4 < 0$ 이므로 $f (6) = 0$

- $n = 7$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f (7) = 1$

- $n = 8$ (짝수): $(8 - 5) (8 - 10) = (3) (- 2) = - 6 < 0$ 이므로 $f (8) = 0$

- $n = 9$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f (9) = 1$

- $n = 10$ (짝수): $(10 - 5) (10 - 10) = 0$ 이므로 $f (10) = 1$

- $n = 11$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f (11) = 1$

- $n = 12$ (짝수): $(12 - 5) (12 - 10) = (7) (2) = 14 > 0$ 이므로 $f (12) = 2$

- $n = 13$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f (13) = 1$

step4. 조건을 만족하는 $n$ 찾기

이제 구한 값들을 보면서 이웃한 두 값이 같아지는 순간, 즉 $f (n) = f (n + 1)$ 이 되는 $n$ 을 찾아볼게요.

- $n = 4$ 일 때: $f (4) = 2, f (5) = 1$ (다름)

- $n = 5$ 일 때: $f (5) = 1, f (6) = 0$ (다름)

- $n = 6$ 일 때: $f (6) = 0, f (7) = 1$ (다름)

- $n = 7$ 일 때: $f (7) = 1, f (8) = 0$ (다름)

- $n = 8$ 일 때: $f (8) = 0, f (9) = 1$ (다름)

- $n = 9$ 일 때: $f (9) = 1, f (10) = 1$ (같음!)

- $n = 10$ 일 때: $f (10) = 1, f (11) = 1$ (같음!)

- $n = 11$ 일 때: $f (11) = 1, f (12) = 2$ (다름)

- $n = 12$ 일 때: $f (12) = 2, f (13) = 1$ (다름)

조건을 만족하는 $n$ 은 $9$ 와 $10$ 이네요.

따라서 모든 $n$ 의 값의 합은 $9 + 10 = 19$ 가 됩니다.

step1. , 2. 식 정리 및 개념

$A (n) = n^{2} - 15 n + 50 = (n - 5) (n - 10)$

$n$ 이 홀수 $⟹ f (n) = 1$

$n$ 이 짝수 $⟹ A (n)$ 의 부호에 따라 $2, 1, 0$ 개

step3. $f (n)$ 계산

$f (4) = 2$ --- $A (4) = 6 > 0$ 이므로

$f (5) = 1$

$f (6) = 0$ --- $A (6) = - 4 < 0$ 이므로

$f (7) = 1$

$f (8) = 0$ --- $A (8) = - 6 < 0$ 이므로

$f (9) = 1$

$f (10) = 1$ --- $A (10) = 0$ 이므로

$f (11) = 1$

$f (12) = 2$ --- $A (12) = 14 > 0$ 이므로

$f (13) = 1$

step4. 조건 확인

$f (n) = f (n + 1)$ 인 $n$ 찾기 --- $4 \leq n \leq 12$

$n = 9 ⟹ f (9) = 1, f (10) = 1$

$n = 10 ⟹ f (10) = 1, f (11) = 1$

∴ $9 + 10 = 19$

🔒 막힌 이유

$n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 구하는 규칙을 정확히 암기하지 못해 혼동하는 경우가 많습니다.
특히 $n$ 이 짝수일 때 대상이 되는 수의 부호(양수, 0, 음수)를 따져야 하는데, 이를 놓치고 단순히 계산만 하려다 막힐 수 있습니다.
또한 $n = 12$ 일 때 $f (13)$ 의 값이 필요한데, 주어진 범위가 $n \leq 12$ 라고 해서 $f (12)$ 까지만 구하다가 당황할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$n$ 이 홀수일 때와 짝수일 때의 규칙을 명확히 분리하여 생각해야 합니다.
이차식을 먼저 인수분해하여 $n$ 을 대입했을 때 양수인지, 0인지, 음수인지 부호를 쉽게 판별할 수 있도록 식을 정리하는 것이 좋습니다.
$f (n) = f (n + 1)$ 조건을 확인하기 위해 $n = 4$ 부터 $n = 13$ 까지 표나 목록을 만들어 차분히 값을 나열해 보는 것이 실수를 줄이는 팁입니다.

2023년 9월 학력평가 고2 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 지수 / 거듭제곱근
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구