수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 두 교점의 $x$좌표 구하기

점 $A$ 는 $y=16a^x$ 와 $y=7$ 의 교점이므로 $16a^x=7$, 즉 $a^x={\displaystyle \frac{7}{16}}$ 입니다. 지수와 로그의 관계로 바꾸면

$x_A={\log }_a{\displaystyle \frac{7}{16}}$

점 $B$ 는 $y={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^x$ 와 $y=7$ 의 교점이므로 $a^x=28$ 이고

$x_B={\log }_{a}28$

입니다.

그림의 파란 세로 점선이 두 교점의 x좌표를 x축까지 내려 그은 것입니다.

step2. 거리 조건을 로그 하나로 묶기

두 점의 $y$좌표가 $7$ 로 같으므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ 는 $x$좌표의 차의 절댓값입니다.

$x_B-x_A={\log }_{a}28-{\log }_a{\displaystyle \frac{7}{16}}={\log }_a(28\times {\displaystyle \frac{16}{7}})={\log }_{a}64$

$a>1$ 이고 $64>1$ 이므로 이 값은 양수이고, 곧 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ 입니다.

두 점 사이의 거리 공식을 그대로 쓰려 하면 식이 불필요하게 복잡해집니다. 같은 높이라는 점을 먼저 확인하세요.

따라서 ${\log }_{a}64=4$ 입니다.

그림 위쪽의 빨간 양쪽 화살표가 선분 AB 예요.

step3. $a$ 구하기

로그방정식을 지수식으로 되돌립니다.

${\log }_{a}64=4⟺a^4=64$

$64=2^6$ 이므로

$a=(2^6{)}^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$

이고 $a>1$ 을 만족합니다.

따라서 정답은 ③입니다.

step1. 교점의 $x$좌표

$16a^x=7$ → $x_A={\log }_a{\displaystyle \frac{7}{16}}$

${\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^x=7$ → $x_B={\log }_{a}28$

step2. 거리

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}={\log }_{a}28-{\log }_a{\displaystyle \frac{7}{16}}={\log }_{a}64=4$   --- 두 점의 $y$좌표가 같으므로

step3. $a$

$a^4=64=2^6$

$a=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$

$\therefore ③$