수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 극한식을 미분계수로 읽기

미분계수의 정의는 $f^{\prime }(a)={lim}_{x\to a}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ 입니다. 주어진 식은 $a=2$ 인 경우와 완전히 같은 모양이에요.

${lim}_{x\to 2}{\displaystyle \frac{f(x)-f(2)}{x-2}}=f^{\prime }(2)$

분자의 $f(2)$ 와 분모의 $2$, 그리고 $x\to 2$ 의 세 숫자가 모두 같으면 그 극한은 곧 $f^{\prime }(2)$입니다.

분모가 $0$ 으로 간다는 이유만으로 극한이 없다고 판단하기 쉬운데, 분자도 함께 $0$ 으로 가는 $\frac{0}{0}$ 꼴이라 값이 존재합니다.

step2. 도함수를 구해 대입하기

$f(x)=2x^3-x-4$ 를 미분하면

$f^{\prime }(x)=6x^2-1$

입니다. 여기에 $x=2$ 를 넣으면

$f^{\prime }(2)=6\times 2^2-1=24-1=23$

따라서 정답은 ③입니다.

step1. 정의 확인

${lim}_{x\to 2}{\displaystyle \frac{f(x)-f(2)}{x-2}}=f^{\prime }(2)$   --- 미분계수의 정의

step2. 대입

$f^{\prime }(x)=6x^2-1$

$f^{\prime }(2)=24-1=23$

$\therefore ③$