수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $a$ 로 묶어 약분하기

첫째항을 $a$, 공비를 $r$ 이라 하면

$S_3=a+ar+a{r}^2=a(1+r+r^2)$

$a_1+2a_2=a+2ar=a(1+2r)$

입니다. 모든 항이 양수이므로 $a>0$, 따라서 분자와 분모의 $a$ 를 약분할 수 있어요.

${\displaystyle \frac{S_3}{a_1+2a_2}}={\displaystyle \frac{1+r+r^2}{1+2r}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$

조건이 항들의 비로 주어지면 첫째항은 반드시 사라지고 공비만 남는다는 것이 이 문제의 열쇠입니다.

step2. 공비 $r$ 구하기

양변에 $3(1+2r)$ 을 곱해 정리합니다.

$3(1+r+r^2)=7(1+2r)$

$3r^2+3r+3=14r+7$

$3r^2-11r-4=0$

좌변을 인수분해하면 $(3r+1)(r-4)=0$ 이므로 $r=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ 또는 $r=4$ 입니다.

여기서 두 근을 모두 살리면 안 됩니다. '모든 항이 양수'라는 조건은 곧 $r>0$ 을 뜻하므로 $r=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ 은 버려야 해요.

따라서 $r=4$ 입니다.

step3. ${\displaystyle \frac{a_8}{a_6}}$ 계산하기

등비수열에서 두 항의 비는 첨자의 차만큼 공비를 곱한 값입니다.

${\displaystyle \frac{a_8}{a_6}}={\displaystyle \frac{a{r}^7}{a{r}^5}}=r^2$

$r=4$ 이므로 $r^2=16$ 입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

step1. 첫째항 약분

${\displaystyle \frac{a(1+r+r^2)}{a(1+2r)}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$   --- 모든 항이 양수이므로 $a>0$

step2. 공비

$3(1+r+r^2)=7(1+2r)$

$3r^2-11r-4=0$

$(3r+1)(r-4)=0$ → $r=4$   --- $r>0$

step3. 비 계산

${\displaystyle \frac{a_8}{a_6}}=r^2=16$

$\therefore ③$