(2027학년도) 2026년 9월 모의평가 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

좌변에

\int_{- 1}^{x}

가 있으니 양변을

x

로 미분하면 좌변은 곧바로

f (x)

가 됩니다. 다만 미분만으로는

f

가 적분상수만큼 불확정하게 남아요. 이때 쓰는 것이 적분 구간이 한 점으로 줄어드는

x = - 1

입니다. 이 값을 넣으면 좌변이

0

이 되어 상수를 정할 식이 생깁니다.

step1. 양변 미분하기

좌변은 미적분의 기본정리에 의해

$\frac{d}{d x} \int_{- 1}^{x} f (t) d t = f (x)$

입니다. 우변은 $x f (x)$ 에 곱의 미분법을 적용해

$\frac{d}{d x} {x f (x) - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6} = f (x) + x f^{'} (x) - 6 x^{2} - 6 x$

$x f (x)$ 를 미분할 때 $f (x)$ 만 남긴다고 착각하기 쉬워요. 두 함수의 곱이므로 $f (x) + x f^{'} (x)$ 가 되어야 합니다.

두 결과를 같게 놓으면 $f (x)$ 가 소거되어

$x f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x$

가 남습니다.

step2. $f (x)$ 의 꼴 정하기

$x \neq 0$ 일 때 양변을 $x$ 로 나누면 $f^{'} (x) = 6 x + 6$ 입니다. $f$ 가 다항함수이므로 $f^{'}$ 도 다항함수이고, 다항함수는 연속이니 이 식은 $x = 0$ 에서도 그대로 이어집니다.

따라서 모든 실수에서 $f^{'} (x) = 6 x + 6$ 이고, 적분하면

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + C$

입니다. 아직 상수 $C$ 가 남아 있어요.

step3. $x = - 1$ 로 상수 정하기

적분방정식에서는 적분 구간의 위끝과 아래끝이 같아지는 값을 대입하는 것이 상수를 정하는 열쇠입니다. 아래끝이 $- 1$ 이므로 원래 식에 $x = - 1$ 을 넣어 봅니다.

좌변: $\int_{- 1}^{- 1} f (t) d t = 0$

우변: $(- 1) f (- 1) - 2 (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} + 6 = - f (- 1) + 2 - 3 + 6 = - f (- 1) + 5$

따라서 $0 = - f (- 1) + 5$ 에서 $f (- 1) = 5$ 입니다.

$f (- 1) = 3 - 6 + C = C - 3$ 이므로 $C - 3 = 5$ , 즉 $C = 8$ 입니다.

그러므로 $f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 8$ 이고 $f (0) = 8$ 이에요.

따라서 정답은 ③입니다.

step1. 양변 미분

$f (x) = f (x) + x f^{'} (x) - 6 x^{2} - 6 x$ --- 좌변은 기본정리, 우변은 곱의 미분법

$x f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x$ → $f^{'} (x) = 6 x + 6$

step2. 부정적분

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + C$

step3. $x = - 1$ 대입

$0 = - f (- 1) + 5$ → $f (- 1) = 5$

$C - 3 = 5$ → $C = 8$

$f (0) = 8$

$∴ ③$

수학여정 - 문제 분석 리포트