(2027학년도) 2026년 9월 모의평가 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

삼차함수의 극값 문제는 언제나 도함수인 이차식이 주인공입니다. '

x = 1

에서 극소'라는 말은

f^{'} (1) = 0

이라는 식 하나를 준다는 뜻이니 여기서

a

를 먼저 확정하세요.

a

가 정해지면

f^{'}

는 구체적인 이차식이 되고, 그 두 근 중 작은 쪽이 극대점이 됩니다.

step1. $f^{'} (1) = 0$ 으로 $a$ 정하기

먼저 도함수를 구합니다.

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 a x - 4 a$

$f$ 가 $x = 1$ 에서 극값을 가지므로 그 점에서 도함수가 $0$ 이어야 해요.

$f^{'} (1) = 6 + 2 a - 4 a = 6 - 2 a = 0$

따라서 $a = 3$ 입니다.

$f^{'} (c) = 0$ 은 극값을 가질 '필요'조건일 뿐이에요. $a$ 를 구한 뒤에는 $x = 1$ 이 정말 극소인지 부호로 확인해야 합니다.

위 그림은 f 의 그래프, 아래 그림은 f' 의 그래프입니다.

step2. 도함수를 인수분해해 극대점 찾기

$a = 3$ 을 넣으면

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 = 6 (x^{2} + x - 2) = 6 (x + 2) (x - 1)$

이 됩니다. 근은 $x = - 2$ 와 $x = 1$ 이에요.

$f^{'}$ 는 아래로 볼록한 이차식이므로 두 근 사이에서 음, 바깥에서 양입니다.

$f^{'}$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 $x = - 2$ 가 극대점, 음에서 양으로 바뀌는 $x = 1$ 이 극소점이고, 이는 ' $x = 1$ 에서 극소'라는 조건과도 맞습니다.

아래 그림에서 파랗게 칠한 구간이 f' < 0 인 곳이고, 그 양 끝이 극대·극소가 되는 자리예요.

step3. 극댓값 계산하기

구해야 할 것은 극대가 되는 $x$ 값이 아니라 그때의 함숫값입니다. $a = 3$ 이므로 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ 이고,

$f (- 2) = 2 \times (- 8) + 3 \times 4 - 12 \times (- 2) = - 16 + 12 + 24 = 20$

따라서 정답은 ②입니다.

위 그림의 빨간 점이 극대점이고, 빨간 점선의 길이가 극댓값입니다.

step1. $a$ 결정

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 a x - 4 a$

$f^{'} (1) = 6 - 2 a = 0$ → $a = 3$

step2. 극대점

$f^{'} (x) = 6 (x + 2) (x - 1)$

$x = - 2$ 극대, $x = 1$ 극소 --- $f^{'}$ 부호가 $+, -, +$

step3. 극댓값

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 = 20$

$∴ ②$

수학여정 - 문제 분석 리포트