수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 분모를 단순화해 실근 조건 보기

$f(x)=(x-h{)}^2-k^2$ ($k\ge 0$)로 둡니다. 분모는

$D(x)=f(x)+f(x-t)=(x-h{)}^2+(x-h-t{)}^2-2k^2$

인데, 두 제곱의 중심인 $v=x-h-{\displaystyle \frac{t}{2}}$ 로 바꿔 쓰면

$D={(v+{\displaystyle \frac{t}{2}})}^2+{(v-{\displaystyle \frac{t}{2}})}^2-2k^2=2v^2+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-2k^2$

로 아주 간단해집니다.

$D$ 의 실근은 $t<2k$ 이면 두 개, $t=2k$ 이면 중근 하나, $t>2k$ 이면 없다는 것을 이 한 줄에서 읽을 수 있어요.

분모에 실근이 없으면 극한은 어디서나 존재하므로, $t>2k$ 인 $t$ 는 전부 조건을 만족합니다.

그림의 세 포물선이 t 의 크기에 따른 분모의 모습입니다.

step2. 경계 $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 의 의미 읽기

조건에서 극한이 존재하는 $t$ 의 집합이 $\{t\mid t\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}\}$ 로 등호를 포함합니다.

만약 $2k<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ 라면 $2k$ 와 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ 사이의 $t$ 도 분모에 실근이 없어 조건을 만족하게 되어 집합이 더 커집니다. 그러므로 $2k\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$ 여야 해요.

한편 $2k>{\displaystyle \frac{3}{2}}$ 라면 $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 는 $t<2k$ 인 경우이고, 이때 분모는 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 뒤(step4)에서 보듯 그 두 점에서 분자가 동시에 $0$ 이 되는 일은 일어나지 않아요.

따라서 $2k={\displaystyle \frac{3}{2}}$, 즉 $k={\displaystyle \frac{3}{4}}$ 이고, $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 는 분모가 중근을 갖는 경계입니다.

그림에서 빨간 포물선이 x축에 닿는 그 한 점이 중근이에요.

step3. 중근에서의 조건으로 $f$ 확정하기

$t=2k$ 일 때 $D=2v^2$ 이므로 중근은 $v=0$, 즉 $x=h+{\displaystyle \frac{t}{2}}=h+k$ 입니다.

이때 $f(h+k)=k^2-k^2=0$ 이므로 분자 $N(x)=(2x+1)f(x)$ 는 이 점에서 이미 한 번 $0$ 이 됩니다. 그런데 분모는 두 번 $0$ 이 되므로

극한이 존재하려면 분자도 그 점에서 두 번 $0$ 이 되어야 하고, 그러려면 남은 인수 $2x+1$ 도 그 점에서 $0$ 이어야 합니다.

$2(h+k)+1=0$ 에서 $h+k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 이고, $k={\displaystyle \frac{3}{4}}$ 이므로 $h=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ 입니다.

따라서

$f(x)={(x+{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2-{\displaystyle \frac{9}{16}}=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})(x+2)$

입니다.

그림의 검은 곡선이 f, 파란 점선이 y = 2x + 1 이고 둘이 x = -12 에서 함께 0 이 됩니다.

step4. 작은 $t$ 를 확인하고 $f(2)$ 구하기

$0<t<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ 이면 분모는 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 두 근의 합은 $D$ 의 대칭축이 $v=0$, 즉 $x=h+{\displaystyle \frac{t}{2}}$ 이므로 $2h+t=-{\displaystyle \frac{5}{2}}+t$ 예요.

분자 $N(x)=2{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2(x+2)$ 가 $0$ 이 되는 점은 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 와 $-2$ 뿐이므로, 두 근이 모두 분자의 근이 되려면 합이 $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ 여야 하고 이는 $t=0$ 을 뜻합니다. $t$ 는 양수이므로 불가능해요.

여기서 확인을 건너뛰면 $t$ 의 집합이 정말 $t\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$ 인지 보장할 수 없습니다. 경계보다 작은 쪽이 실패한다는 것까지 봐야 조건이 완성돼요.

이렇게 구한 $f$ 는 문제의 조건을 정확히 만족하고,

$f(2)=(2+{\displaystyle \frac{1}{2}})(2+2)={\displaystyle \frac{5}{2}}\times 4=10$

따라서 정답은 ④입니다.

그림의 빨간 점과 세로 점선이 f(2) = 10 을 나타냅니다.

step1. 분모 정리

$f(x)=(x-h{)}^2-k^2$

$D=f(x)+f(x-t)=2v^2+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-2k^2$, $v=x-h-{\displaystyle \frac{t}{2}}$

실근: $t<2k$ 두 개 / $t=2k$ 중근 / $t>2k$ 없음

step2. 경계

집합이 $t\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$ (등호 포함) → $2k={\displaystyle \frac{3}{2}}$, $k={\displaystyle \frac{3}{4}}$

step3. 중근에서 분자도 2중근

중근 $x=h+k$, $f(h+k)=0$ → $2(h+k)+1=0$

$h+k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ → $h=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

$f(x)=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})(x+2)$

step4. 확인·답

$t<{\displaystyle \frac{3}{2}}$: 두 근의 합 $=-{\displaystyle \frac{5}{2}}+t\ne -{\displaystyle \frac{5}{2}}$ → 불가

$f(2)={\displaystyle \frac{5}{2}}\times 4=10$

$\therefore ④$