수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 검사할 점 좁히기

$x<2$ 에서는 $f(x)=7x+a$ 라는 일차함수, $x>2$ 에서는 $f(x)=x^2+ax$ 라는 이차함수입니다. 다항함수는 어디서나 연속이므로 이 두 구간 내부에서는 확인할 것이 없어요.

구간별로 정의된 함수의 연속성은 조각이 바뀌는 경계점만 따지면 된다는 것이 이 문제의 출발점입니다.

따라서 $x=2$ 에서만 연속 조건을 세우면 충분합니다.

위 그림에서 빨간 세로 점선이 두 조각이 갈라지는 x = 2 입니다.

step2. $x=2$ 에서 값을 맞추기

$x=2$ 에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.

조건에서 등호가 붙은 쪽은 $x\le 2$ 이므로 $x=2$ 일 때의 함숫값은 위쪽 식으로 정해집니다.

$f(2)=7\times 2+a=14+a$

왼쪽에서 다가갈 때도 같은 식을 쓰므로 좌극한 역시 $14+a$ 입니다.

오른쪽에서 다가갈 때는 아래쪽 식을 쓰므로

${lim}_{x\to 2+}f(x)=2^2+a\times 2=4+2a$

등호가 어느 쪽에 붙었는지 확인하지 않고 $f(2)$ 를 $x^2+ax$ 에 대입하면 조건이 뒤바뀝니다. 다만 이 문제처럼 결국 두 식을 같게 놓게 되므로, 식을 세울 때 좌우를 분명히 구분해 두는 습관이 중요해요.

두 값을 같게 놓으면

$14+a=4+2a$

$a=10$

따라서 정답은 ②입니다.

그림의 빨간 점이 두 조각이 만나야 하는 자리예요.

step1. 경계점만 검사

두 조각 모두 다항함수 → $x=2$ 에서만 확인

step2. 값 일치

$f(2)=14+a$

${lim}_{x\to 2+}f(x)=4+2a$

$14+a=4+2a$

$a=10$

$\therefore ②$