수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 항을 두 경우로 나누기

$k$ 는 자연수이므로 언제나 $f(k)={\displaystyle \frac{1}{k}}$ 이고, 따라서 $5f(k)={\displaystyle \frac{5}{k}}$ 입니다.

갈리는 것은 분자의 $f(\sqrt[3]{k})$ 뿐이고, $\sqrt[3]{k}$ 가 자연수가 되는 것은 $k$ 가 세제곱수일 때만입니다.

(i) $k$ 가 세제곱수가 아닐 때: $f(\sqrt[3]{k})=5$ 이므로 항은 ${\displaystyle \frac{5}{5/k}}=k$

(ii) $k=m^3$ 일 때: $f(\sqrt[3]{k})={\displaystyle \frac{1}{m}}$ 이므로 항은 ${\displaystyle \frac{1/m}{5/m^3}}={\displaystyle \frac{m^2}{5}}$

$k$ 자리에도 '자연수가 아닌 경우'를 적용해 $f(k)=5$ 로 두면 전혀 다른 식이 됩니다. $k$ 는 합의 지표라 항상 자연수예요.

step2. 합을 정수 부분과 분수 부분으로 나누기

$M=\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor$ 이라 하면 $1$ 이상 $n$ 이하의 세제곱수는 $1^3,2^3,\dots ,M^3$ 입니다.

먼저 모든 $k$ 를 (i)처럼 취급해 ${\sum }_{k=1}^{n}k$ 를 더한 뒤, 세제곱수 자리만 $k=m^3$ 을 빼고 ${\displaystyle \frac{m^2}{5}}$ 를 넣어 주면 돼요.

${\displaystyle {\sum }_{k=1}^n{\displaystyle \frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)}}=\underset{\text{항상 정수}}{\underbrace{({\sum }_{k=1}^{n}k-{\sum }_{m=1}^M{m}^3)}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}{\sum }_{m=1}^M{m}^2}$

앞 괄호는 자연수의 합과 세제곱의 합의 차이므로 언제나 정수입니다.

step3. 분수 부분이 정수가 될 조건 찾기

정수에 무언가를 더해 자연수가 되려면 그 무언가도 정수여야 합니다. 따라서 조건은

${\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle {\sum }_{m=1}^M{m}^2\in \mathbb{Z}}$, 즉 ${\displaystyle {\sum }_{m=1}^M{m}^2={\displaystyle \frac{M(M+1)(2M+1)}{6}}}$ 이 $5$ 의 배수

입니다. $M$ 을 작은 값부터 넣어 보면

$M=1,2,3,4,5,6$ 에 대해 $\sum m^2=1,5,14,30,55,91$

이므로 $5$ 의 배수가 되는 것은 $M=2,4,5$ 입니다.

step4. $M$ 별로 $n$ 의 개수 세기

$M=\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor$ 이므로 $M$ 이 일정한 $n$ 의 범위는 $M^3\le n<(M+1{)}^3$ 입니다. $n\le 300$ 이고 $6^3=216$, $7^3=343$ 이므로 $M$ 은 $1$ 부터 $6$ 까지예요.

$M=2$: $8\le n\le 26$ → $19$ 개

$M=4$: $64\le n\le 124$ → $61$ 개

$M=5$: $125\le n\le 215$ → $91$ 개

나머지 $M=1,3,6$ 은 조건을 만족하지 않습니다.

따라서 개수는 $19+61+91=171$ 이고, 정답은 ⑤입니다.

step1. 항 분류

$5f(k)={\displaystyle \frac{5}{k}}$

$k\ne m^3$ → 항 $=k$

$k=m^3$ → 항 $={\displaystyle \frac{m^2}{5}}$

step2. 합 분해

$\sum =({\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}-{\sum }_{m=1}^M{m}^3)+{\displaystyle \frac{1}{5}}{\sum }_{m=1}^M{m}^2$, $M=\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor$

step3. 조건

${\sum }_{m=1}^M{m}^2\equiv 0\left(\mathrm{mod}5\right)$

$M=1~6$: $1,5,14,30,55,91$ → $M=2,4,5$

step4. 개수

$M=2$: $8~26$ (19), $M=4$: $64~124$ (61), $M=5$: $125~215$   --- 91

$19+61+91=171$

$\therefore ⑤$