수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. (나)를 평행이동해 같은 포물선 위로 옮기기

$P_1(x)=2x^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}x+3$, $P_2(x)=2x^2-{\displaystyle \frac{15}{2}}x+{\displaystyle \frac{15}{2}}$ 라 하고 $P_1$ 을 $(1,-1)$ 만큼 옮겨 봅니다.

$P_1(x-1)-1=2(x-1{)}^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}(x-1)+2=2x^2-{\displaystyle \frac{15}{2}}x+{\displaystyle \frac{15}{2}}=P_2(x)$

두 포물선은 평행이동 관계이므로, (나)의 도형 전체를 $(-1,1)$ 만큼 되밀면 (가)와 같은 포물선 위로 올라옵니다.

같은 이동을 로그곡선에 적용하면, $y={\log }_a(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ 는

$y={\log }_a(x+{\displaystyle \frac{3}{4}})+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

이라는 곡선 $L$ 이 됩니다.

따라서 $C$, $D$ 를 $(-1,1)$ 만큼 옮긴 점 $C^{\prime }$, $D^{\prime }$ 는 $P_1$ 과 $L$ 의 교점이에요.

그림의 파란 점선 화살표가 (나)의 두 점을 (-1, 1) 만큼 옮기는 평행이동입니다.

step2. 직사각형 조건으로 두 쌍이 같음을 보이기

이제 $A$, $B$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$ 네 점이 모두 포물선 $P_1$ 위에 있습니다.

직사각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 에서 $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ 이고, 평행이동은 벡터를 바꾸지 않으므로 $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ 입니다.

$P_1$ 위의 두 점 $(u,P_1(u))$, $(v,P_1(v))$ 를 잇는 벡터는

$(v-u,(v-u)(2(u+v)-{\displaystyle \frac{7}{2}}))$

이므로, 두 현의 벡터가 같으려면 $v-u$ 도 같고 $u+v$ 도 같아야 합니다. 즉 두 현은 같은 현이에요.

그러므로 $A=D^{\prime }$, $B=C^{\prime }$ 이고, 결국 $A$, $B$ 는 $y=a^x$ 와 $L$ 두 곡선의 교점입니다.

step3. 교점이 대칭축 위에 있음을 밝히기

$L$ 을 다시 보면, $y=a^s$ 위의 점 $(s,a^s)$ 를 직선 $y=x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 에 대하여 대칭이동한 점이 $(a^s-{\displaystyle \frac{3}{4}},s+{\displaystyle \frac{3}{4}})$ 이고, 이 점이 정확히 $L$ 위에 있습니다. 즉 $L$ 은 $y=a^x$ 를 그 직선에 대해 뒤집은 곡선이에요.

증가함수와 그 대칭이동의 교점은 반드시 대칭축 위에 있습니다. 실제로 교점 $(s,a^s)$ 의 대칭점도 $y=a^x$ 위에 있어야 하므로 $a^{a^s-3/4}=s+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 인데, 만약 $s<a^s-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 이면 $a^x$ 가 증가함수라 $a^s<s+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 가 되어 앞의 부등식과 모순입니다. 반대의 경우도 같으므로 $a^s=s+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 여야 해요.

이 성질은 $a>1$ 이라 $a^x$ 가 증가함수일 때만 성립합니다. 조건에 $a>1$ 이 왜 있는지가 여기서 드러납니다.

따라서 $A$, $B$ 는 직선 $y=x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 위의 점입니다.

그림의 보라 점선이 대칭축 y = x + 34 예요.

step4. 교점을 구해 $p+q$ 계산하기

$A$, $B$ 는 포물선 $P_1$ 위에도 있으므로 두 식을 연립합니다.

$2x^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}x+3=x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$2x^2-{\displaystyle \frac{9}{2}}x+{\displaystyle \frac{9}{4}}=0$ → $8x^2-18x+9=0$ → $(4x-3)(2x-3)=0$

$x={\displaystyle \frac{3}{4}}$ 또는 $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 이므로

$A({\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$, $B({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{9}{4}})$

입니다. 이때 $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=({\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$ 이고 $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}=(1,-1)$ 이라 서로 수직이므로 실제로 직사각형이 됩니다.

$A$ 가 $y=a^x$ 위의 점이므로

$a^{3/4}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

양변을 네제곱하면

$a^3={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^4={\displaystyle \frac{81}{16}}$

$p=16$, $q=81$ 은 서로소인 자연수이므로 $p+q=97$ 입니다.

따라서 답은 $97$ 입니다.

그림에서 대칭축과 포물선이 만나는 두 점이 곧 A, B 입니다.

step1. 평행이동

$P_1(x-1)-1=P_2(x)$ → (나)를 $(-1,1)$ 만큼 이동하면 $P_1$ 위로

로그곡선 → $L:y={\log }_a(x+{\displaystyle \frac{3}{4}})+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

step2. 직사각형

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$, 같은 포물선의 현 → $A=D^{\prime }$, $B=C^{\prime }$

→ $A$, $B$ 는 $y=a^x$ 와 $L$ 의 교점

step3. 대칭

$L$ 은 $y=a^x$ 의 $y=x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 대칭 → 교점은 대칭축 위   --- $a^x$ 가 증가함수

step4. 연립

$2x^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}x+3=x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$8x^2-18x+9=0$ → $x={\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$a^{3/4}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ → $a^3={\displaystyle \frac{81}{16}}$

$p+q=16+81=97$

∴ $97$