수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 최댓값에서 $a$ 구하기

$\sin$ 의 값은 아무리 커도 $1$ 을 넘지 못합니다. $a>0$ 이므로 $a\sin {\displaystyle \frac{x}{b}}$ 의 최댓값은 $a$ 이고, 여기에 상수 $2$ 가 더해지므로

$(f\text{의 최댓값})=a+2$

상수항은 그래프를 통째로 위로 밀어 올리므로 최댓값에도 그대로 더해진다는 점이 중요합니다.

최댓값이 $5$ 이므로 $a+2=5$, 즉 $a=3$ 입니다.

$+2$ 를 빼먹고 $a=5$ 로 두면 이후 계산이 전부 어긋납니다.

위 그림에서 회색 점선이 중심선 y = 2, 빨간 점선이 최댓값 y = 5 이고, 그 사이의 빨간 화살표 길이가 진폭 a 입니다.

step2. 주기에서 $b$ 구하기

$y=\sin (kx)$ 의 주기는 ${\displaystyle \frac{2\pi }{|k|}}$ 입니다. 지금은 $\sin {\displaystyle \frac{x}{b}}=\sin \left({\displaystyle \frac{1}{b}}x\right)$ 이므로 $k={\displaystyle \frac{1}{b}}$ 예요.

$b>0$ 이므로 주기는

${\displaystyle \frac{2\pi }{\frac{1}{b}}}=2\pi b$

입니다. 이 값이 $8\pi$ 이므로 $2\pi b=8\pi$, 즉 $b=4$ 입니다.

따라서 $a+b=3+4=7$ 이고, 정답은 ⑤입니다.

그림의 파란 양쪽 화살표가 한 주기의 길이예요.

step1. 최댓값

$maxf=a+2=5$

$a=3$

step2. 주기

${\displaystyle \frac{2\pi }{1/b}}=2\pi b=8\pi$   --- $\sin (kx)$ 의 주기는 $\frac{2\pi }{|k|}$

$b=4$

$a+b=7$

$\therefore ⑤$