수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $g$ 의 꺾임 찾기

$f(x)=0$ 의 서로 다른 실근이 두 개이고 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수이므로

$f(x)=(x-p{)}^2(x-q)$ ($p\ne q$)

로 둘 수 있습니다.

$g$ 는 $f$ 의 부호에 따라 식이 바뀌므로 $f$ 의 부호가 실제로 바뀌는 곳에서만 꺾일 수 있어요. $x=p$ 는 중근이라 부호가 바뀌지 않으니 그 근처에서는 $g$ 가 한 가지 식으로만 표현되어 매끄럽습니다.

$x=q$ 에서는 $f$ 가 음에서 양으로 바뀝니다. 왼쪽은 $g=7f$, 오른쪽은 $g=-f$ 이므로

(우미분계수) $-$ (좌미분계수) $=-f^{\prime }(q)-7f^{\prime }(q)=-8f^{\prime }(q)=-8(q-p{)}^2$

$g$ 는 오직 $x=q$ 에서만 꺾이고, 그 꺾임의 크기는 $8(q-p{)}^2$ 로 음의 방향입니다.

중근 $x=p$ 에서도 꺾인다고 생각하기 쉬운데, 부호가 바뀌지 않으면 식이 바뀌지 않으므로 매끄럽습니다.

그림의 파란 곡선이 g 이고, 빨간 점으로 표시한 x = q 에서만 꺾입니다.

step2. $|P|$ 의 꺾임과 $a$ 의 경우

$P(x)=(x-1)(x-a)(x-4+a)$ 라 하면 $|P|$ 는 $P$ 의 단순근에서 꺾이고, 그 꺾임은 항상 양의 방향으로 크기가 $2|P^{\prime }(r)|$ 입니다. 중근에서는 꺾이지 않아요.

$g$ 의 꺾임은 $x=q$ 한 곳뿐이므로, $|P|$ 의 꺾임도 정확히 그 한 곳에만 있어야 합니다. 다른 곳에 꺾임이 남으면 상쇄해 줄 상대가 없으니까요.

따라서 $P$ 의 세 근 $1$, $a$, $4-a$ 중 둘이 겹쳐야 합니다.

$a=1$ 또는 $a=3$: $P(x)=(x-1{)}^2(x-3)$ → 단순근은 $x=3$, 즉 $q=3$

$a=2$: $P(x)=(x-1)(x-2{)}^2$ → 단순근은 $x=1$, 즉 $q=1$

세 근이 모두 같아지려면 $a=1$ 과 $a=3$ 이 동시에 성립해야 하므로 불가능합니다.

그림의 빨간 곡선과 초록 곡선이 두 경우의 |P| 이고, 각각 꺾이는 곳이 한 군데뿐입니다.

step3. 상쇄 조건으로 $p$ 구하기

두 꺾임이 상쇄되려면 크기가 같아야 합니다.

$8(q-p{)}^2=2|P^{\prime }(q)|$, 즉 $|P^{\prime }(q)|=4(q-p{)}^2$

(i) $P(x)=(x-1{)}^2(x-3)$, $q=3$ 인 경우: $P^{\prime }(3)=(3-1{)}^2=4$ 이므로

$4=4(3-p{)}^2$ → $(3-p{)}^2=1$ → $p=2$ 또는 $p=4$

(ii) $P(x)=(x-1)(x-2{)}^2$, $q=1$ 인 경우: $P^{\prime }(1)=(1-2{)}^2=1$ 이므로

$1=4(1-p{)}^2$ → $(1-p{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$ → $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 또는 $p={\displaystyle \frac{3}{2}}$

네 경우 모두 $p\ne q$ 이고, $p$ 가 $P$ 의 근과 겹치지도 않아 새로운 꺾임을 만들지 않으므로 조건을 만족합니다.

step4. $f(0)$ 의 최댓값과 최솟값 구하기

$f(0)=(0-p{)}^2(0-q)=-p^{2}q$ 입니다.

(i) $q=3$: $p=2$ 이면 $f(0)=-4\times 3=-12$, $p=4$ 이면 $f(0)=-16\times 3=-48$

(ii) $q=1$: $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 이면 $f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, $p={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 이면 $f(0)=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$

가능한 값은 $-48,-12,-{\displaystyle \frac{9}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ 이므로 최댓값은 $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, 최솟값은 $-48$ 입니다.

두 값의 곱은

$(-{\displaystyle \frac{1}{4}})\times (-48)=12$

따라서 답은 $12$ 입니다.

그림의 수직선에 가능한 f(0) 네 값을 표시했고, 양 끝의 빨간 두 값이 최솟값과 최댓값입니다.

step1. $g$ 의 꺾임

$f(x)=(x-p{)}^2(x-q)$

$x=q$ 에서만 꺾임, 크기 $=|-f^{\prime }(q)-7f^{\prime }(q)|=8(q-p{)}^2$   --- 중근 $p$ 는 부호 불변

step2. $|P|$ 의 꺾임

$P$ 의 단순근이 $q$ 하나여야 함 → $1,a,4-a$ 중 둘이 겹침

$a=1$ 또는 $3$: $P=(x-1{)}^2(x-3)$, $q=3$

$a=2$: $P=(x-1)(x-2{)}^2$, $q=1$

step3. 상쇄

$8(q-p{)}^2=2|P^{\prime }(q)|$

$q=3$: $P^{\prime }(3)=4$ → $(3-p{)}^2=1$ → $p=2,4$

$q=1$: $P^{\prime }(1)=1$ → $(1-p{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$ → $p={\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}}$

step4. $f(0)=-p^{2}q$

$-12,-48,-{\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{9}{4}}$

$(-{\displaystyle \frac{1}{4}})\times (-48)=12$

∴ $12$