수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f(x)$ 확정하기

최고차항의 계수가 $6$ 인 이차함수이고 $f(0)=0$ 이므로 상수항이 없습니다. 즉 $f(x)=6x^2+bx$ 로 둘 수 있어요.

${\displaystyle {\int }_0^2(6x^2+bx)dx={[2x^3+{\displaystyle \frac{b}{2}}{x}^2]}_0^2=16+2b}$

이 값이 $4$ 이므로 $b=-6$ 이고

$f(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$

입니다. 근이 $x=0$, $x=1$ 이라는 것까지 보이니 부호도 바로 읽을 수 있어요.

그림의 검은 곡선이 확정된 f 이고, 두 점이 x절편 0 과 1 입니다.

step2. ㄱ 판정 — 절댓값 적분

$f(x)=6x(x-1)$ 은 $0<x<1$ 에서 음, $1<x<2$ 에서 양입니다. 절댓값 적분은 부호가 바뀌는 점에서 구간을 끊고, 음인 구간에서는 부호를 뒤집어 적분합니다.

$F(x)=2x^3-3x^2$ 이 $f$ 의 한 부정적분이므로

${\displaystyle {\int }_0^1|f|=-{[2x^3-3x^2]}_0^1=-(2-3)=1}$

${\displaystyle {\int }_1^2|f|={[2x^3-3x^2]}_1^2=4-(-1)=5}$

합하면 $1+5=6$ 이므로 ㄱ은 참입니다.

${\int }_0^{2}f=4$ 인데 ${\int }_0^2|f|$ 도 $4$ 일 것이라 생각하기 쉬운데, 음이던 부분이 양으로 뒤집히면서 값이 커집니다.

그림에서 붉게 칠한 부분의 넓이가 1, 파랗게 칠한 부분의 넓이가 5 예요.

step3. ㄴ 판정 — 조건을 만족하는 일차함수의 일반형

$g$ 는 $g(1)=0$ 인 일차함수이므로 $x=1$ 을 근으로 갖습니다. 즉 $g(x)=m(x-1)$ ($m\ne 0$) 꼴이에요.

${\displaystyle {\int }_0^{2}m(x-1)dx=m{[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x]}_0^2=m(2-2)=0}$

적분 구간 $[0,2]$ 의 중점이 바로 $x=1$ 이라서, 이 점에서 $0$ 이 되는 일차함수는 좌우의 넓이가 상쇄되어 정적분이 항상 $0$ 이 됩니다.

따라서 ${\displaystyle {\int }_0^2(f+g)=4+0=4}$ 이므로 ㄴ도 참입니다.

그림의 초록 직선과 두 초록 영역을 보면 위아래 넓이가 서로 같아 상쇄됩니다.

step4. ㄷ 판정 — 존재성 확인

$h(x)=px+q$ 라 하면 첫 번째 조건 ${\int }_0^2(f+h)=4$ 는 ${\int }_0^{2}h=0$ 을 뜻합니다. ${\int }_0^2(px+q)dx=2p+2q=0$ 이므로 $q=-p$, 즉 $h(x)=p(x-1)$ 입니다. ㄴ에서 본 그 꼴이 다시 나왔어요.

이때

$f(x)+h(x)=6x(x-1)+p(x-1)=(x-1)(6x+p)$

이고, $F(p)={\displaystyle {\int }_0^2|(x-1)(6x+p)|dx}$ 로 두면 $F$ 는 $p$ 에 대해 연속입니다.

$p=0$ 이면 $F(0)={\int }_0^2|f|=6$ 이고, $p$ 를 크게 키우면 피적분함수가 한없이 커지므로 $F(p)\to \infty$ 입니다.

연속함수가 $6$ 에서 출발해 무한대까지 가므로 중간값 정리에 의해 $6$ 보다 큰 어떤 $k$ 를 잡아도 $F(p)=k$ 인 $p$ 가 반드시 존재합니다.

따라서 ㄷ도 참이고, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이므로 정답은 ⑤입니다.

그림의 보라 곡선이 p 를 키웠을 때의 f + h 이고, 곡선이 아래위로 벌어질수록 넓이가 커집니다.

step1. $f$ 확정

$f(x)=6x^2+bx$, ${\int }_0^{2}f=16+2b=4$ → $b=-6$

$f(x)=6x(x-1)$

step2. ㄱ

${\int }_0^1|f|=1$, ${\int }_1^2|f|=5$ → $6$   --- 참

step3. ㄴ

$g(x)=m(x-1)$, ${\int }_0^{2}g=0$ → $4$ (참)   --- $x=1$ 이 구간의 중점

step4. ㄷ

${\int }_0^{2}h=0$ → $h(x)=p(x-1)$

$f+h=(x-1)(6x+p)$, $F(0)=6$, $p\to \infty$ 이면 $F\to \infty$

중간값 정리로 $k>6$ 마다 $p$ 존재   --- 참

$\therefore ⑤$