(2027학년도) 2026년 9월 모의평가 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

기울기가

8

이라는 조건은 곧 '도함수의 값이

8

이 되는 점에서 접한다'는 뜻입니다. 삼차함수의 도함수는 이차식이라 이런 점이 두 개 나올 수 있어요. 그래서 접점을 둘 다 구한 다음, 문제가 남겨 둔 '

y

절편이 양수'라는 조건으로 하나를 고르는 구조입니다.

step1. 접점 찾기

$y = x^{3} - 3 x^{2} - x + 2$ 를 미분하면

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 1$

입니다. 접점의 $x$ 좌표를 $s$ 라 하면 그 점에서의 접선의 기울기가 $8$ 이므로

$3 s^{2} - 6 s - 1 = 8$

$3 s^{2} - 6 s - 9 = 0$

$s^{2} - 2 s - 3 = 0$ , $(s - 3) (s + 1) = 0$

따라서 $s = 3$ 또는 $s = - 1$ 입니다.

직선이 지나는 점 $(1, k)$ 를 접점으로 오해하기 쉬운데, 접점은 여기서 구한 두 점이고 $(1, k)$ 는 그 직선 위의 다른 점일 뿐입니다.

그림의 두 검은 점이 접선의 기울기가 8 이 되는 접점입니다. 곡선이 x축을 지나는 자리와는 다른 점이니 주의하세요.

step2. $y$ 절편으로 접선 고르기

각 접점에서의 함숫값을 구합니다.

$s = 3$ : $27 - 27 - 3 + 2 = - 1$ 이므로 접점은 $(3, - 1)$ , 접선은

$y = 8 (x - 3) - 1 = 8 x - 25$

$s = - 1$ : $- 1 - 3 + 1 + 2 = - 1$ 이므로 접점은 $(- 1, - 1)$ , 접선은

$y = 8 (x + 1) - 1 = 8 x + 7$

접점이 둘 나왔을 때 문제에 남아 있는 조건이 곧 선택 장치입니다. $y$ 절편은 각각 $- 25$ 와 $7$ 이므로, 양수인 쪽은 $y = 8 x + 7$ 입니다.

그림에서 빨간 선분이 고르는 접선, 회색 점선이 버리는 접선이고, 둘 다 기울기가 8 이라 가파르게 서 있습니다.

step3. $k$ 구하기

조건을 만족하는 직선 $y = 8 x + 7$ 이 점 $(1, k)$ 를 지나므로 $x = 1$ 을 대입하면

$k = 8 \times 1 + 7 = 15$

따라서 답은 $15$ 입니다.

step1. 접점

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 1 = 8$

$s^{2} - 2 s - 3 = 0$ → $s = 3, - 1$

step2. 접선 선택

$s = 3$ : $(3, - 1)$ → $y = 8 x - 25$ --- 절편 $- 25$ , 제외

$s = - 1$ : $(- 1, - 1)$ → $y = 8 x + 7$ (절편 $7$ ) --- $y$ 절편이 양수

step3. $k$

$k = 8 + 7 = 15$

∴ $15$

수학여정 - 문제 분석 리포트